已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>0,b>0)
的離心率為
6
3
,橢圓短軸的一個端點與兩個焦點構(gòu)成的三角形的面積為 
5
2
3

(1)求橢圓C的方程;
(2)已知動直線y=k(x+1)與橢圓C相交于A、B兩點.
①若線段AB中點的橫坐標(biāo)為-
1
2
,求斜率k的值; 
②x軸上是否存在定點M,使
MA
MB
為定值?若存在,試求出點M的坐標(biāo)和定值;若不存在,請說明理由.
分析:(1)根據(jù)橢圓的離心率,三角形的面積建立方程,結(jié)合a2=b2+c2,即可求橢圓C的方程;
(2)①直線方程與橢圓聯(lián)立,利用韋達定理,結(jié)合AB中點的橫坐標(biāo)為-
1
2
,即可求斜率k的值; 
②利用向量的數(shù)量積公式,結(jié)合定值時與k的取值無關(guān),即可得到結(jié)論.
解答:解:(1)由題意
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
,a2=b2+c2,
c
a
=
6
3
,且橢圓短軸的一個端點與兩個焦點構(gòu)成的三角形的面積為
5
2
3
,所以
1
2
b×2c=
5
2
3
,所以a2=5,b2=
5
3
,所以橢圓方程為:
x2
5
+
y2
5
3
=1
…(4分)
(2)①
y=k(x+1)
x2
5
+
y2
5
3
=1
化簡可得(1+3k2)x2+6k2x+3k2-5=0

又△=36k4-4(3k2+1)(3k2-5)=48k2+20>0,
令A(yù)(x1,y1),B(x2,y2),則由韋達定理可得x1+x2=-
6k2
3k2+1
,x1x2=
3k2-5
3k2+1

∵AB中點的橫坐標(biāo)為-
1
2
,∴-
6k2
3k2+1
=-
1
2
,解得k=±
3
3
…(8分)
②假設(shè)X軸上存在點M(m,0)使得
MA
MB
為定值,則
MA
MB
=(k2+1)x1x2+(k2-m)(x1-x2)+(k2+m2)=
(3m2+6m-1)k2+(m2-5)
3k 2+1

要使上式為定值,則須使
3m2+6m-1
3
=
m2-5
1
,∴m=-
7
3

此時
MA
MB
為定值
4
9
,定點為M(-
7
3
,0)…(13分)
點評:本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì),考查直線與橢圓的位置關(guān)系,考查向量的數(shù)量積公式,考查學(xué)生的計算能力,屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的離心率為
1
2
,且經(jīng)過點P(1,
3
2
)

(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)F是橢圓C的左焦,判斷以PF為直徑的圓與以橢圓長軸為直徑的圓的位置關(guān)系,并說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的短軸長為2
3
,右焦點F與拋物線y2=4x的焦點重合,O為坐標(biāo)原點.
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)A、B是橢圓C上的不同兩點,點D(-4,0),且滿足
DA
DB
,若λ∈[
3
8
1
2
],求直線AB的斜率的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)經(jīng)過點A(1,
3
2
),且離心率e=
3
2

(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)過點B(-1,0)能否作出直線l,使l與橢圓C交于M、N兩點,且以MN為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點O.若存在,求出直線l的方程;若不存在,說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•房山區(qū)二模)已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的長軸長是4,離心率為
1
2

(Ⅰ)求橢圓方程;
(Ⅱ)設(shè)過點P(0,-2)的直線l交橢圓于M,N兩點,且M,N不與橢圓的頂點重合,若以MN為直徑的圓過橢圓C的右頂點A,求直線l的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的短軸長為2,離心率為
2
2
,設(shè)過右焦點的直線l與橢圓C交于不同的兩點A,B,過A,B作直線x=2的垂線AP,BQ,垂足分別為P,Q.記λ=
AP+BQ
PQ
,若直線l的斜率k≥
3
,則λ的取值范圍為
 

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