Question

在△ABC中角A，B，C 的對(duì)邊分別是a，b，c，且滿足acosB=

2

bsinA，則

3

sinC-2cosA的最大值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦定理,三角函數(shù)的最值

專題：計(jì)算題,三角函數(shù)的求值,解三角形

分析：運(yùn)用正弦定理，結(jié)合同角公式，求出cosB，sinB，再由誘導(dǎo)公式和兩角和的正弦公式，化簡(jiǎn)所求式子，再由兩角差的正弦公式，結(jié)合正弦函數(shù)的值域，即可得到最大值．

解答： 解：由正弦定理，可得足acosB=

2

bsinA，
即為sinAcosB=

2

sinBsinA，
即cosB=

2

sinB，
由于cos²B+sin²B=1，
解得，sinB=

3

3

，cosB=

6

3

，
則

3

sinC-2cosA=

3

sin（A+B）-2cosA=

3

（sinAcosB+cosAsinB）-2cosA
=

3

（

6

3

sinA+

3

3

cosA）-2cosA=

2

sinA-cosA
=

3

（

6

3

sinA-

3

3

cosA）=

3

sin（A-α），（其中cosα=

6

3

，sinα=

3

3

）
則當(dāng)sin（A-α）=1，即有A=

π

2

+α，取得最大值，且為

3

．
故答案為：

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查正弦定理的運(yùn)用，考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)和求最值，考查兩角和差的正弦公式，考查正弦函數(shù)的值域，屬于中檔題．