Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=lnx+ax2 ， g（x）= +x+b，且直線y=﹣ 是函數(shù)f（x）的一條切線． （Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）對任意的x1∈[1， ]，都存在x2∈[1，4]，使得f（x1）=g（x2），求b的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）設直線y=﹣ 與f（x）相切于點（x0 ， lnx0+ax02）（x0＞0）， f′（x）= +2ax= ，
依題意得 ，解得 ，
所以a=﹣ ，經(jīng)檢驗：a=﹣ 符合題意；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=lnx﹣ x2 ，
所以f′（x）= ﹣x= ，
當x∈（1， ]時，f′（x）＜0，所以f（x）在[1， ]上單調(diào)遞減，
所以當x∈[1， ]時，f（x）min=f（ ）= ﹣ e，f（x）max=f（1）=﹣ ，
，
當x∈（1，4]時，g′（x）＞0，所以g（x）在[1，4]上單調(diào)遞增，
所以當x∈（1，4]時，g（x）min=g（1）=2+b， ，
依題意得 ，
即有 ，
解得 ．
【解析】（Ⅰ）設直線y=﹣ 與f（x）相切于點（x0 ， lnx0+ax02）（x0＞0），求得f（x）的導數(shù)，由已知切線方程，可得切線的斜率為0，及f（x0）=﹣ ，解方程可得a的值；（Ⅱ）由題意可得f（x）在[1， ]的值域包含于g（x）在[1，4]的值域．運用導數(shù)， 求得單調(diào)性，可得值域，再由不等式解得即可．
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的正負有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減．