Question

如圖所示，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥底面A₁B₁C₁，底面為直角三角形，∠ACB=90°，AC=2，BC=1，CC₁=

3

，P是BC₁上一動點(diǎn)，則A₁P+PC的最小值是______．

Answer 1

連A₁B，沿BC₁將△CBC₁展開與△A₁BC₁在同一個平面內(nèi)，如圖所示，
連A₁C，則A₁C的長度就是所求的最小值．
在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥底面A₁B₁C₁，底面為直角三角形，∠ACB=90°，AC=2，BC=1，CC₁=

3

，
∴BC₁=2，A₁C₁=2，A₁B=2

2

，BC=1，CC₁=

3

，
即∠A₁C₁B=90°，∠CC₁B=30°，
∴∠A₁C₁C=90°+30°=120°，
由余弦定理可求得A₁C²=22+(

3

)2-2×2×

3

×cos120°=4+3+2×2×

3

×

1

2

=7+2

3

，
∴A₁P+PC的最小值是

7+2 3

，
故答案為：

7+2 3

．