Question

如圖，四棱錐S-ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD=AD=a，點E是SD上的點，且DE=λa（0＜λ≤1）．請利用空間向量解決下列問題：
（1）當λ=

2

3

時，求異面直線AE和SC所成的角的余弦值；
（2）若直線AB和平面AEC所成的角為30°，求λ的值．

Answer 1

考點：直線與平面垂直的判定,異面直線及其所成的角

專題：計算題,向量法,空間角

分析：（1）以D為坐標原點，分別以DA，DC，DS所在直線為x．y，z軸，建立空間直角坐標系，求出A，B，C，S，E的坐標，以及向量AE，SC 的坐標，由向量的夾角公式，即可得到；
（2）設平面AEC的法向量

n

=（x，y，z），由法向量與AE，AC垂直，列出方程，求得一個法向量，再由法向量與直線AB成60°的角，運用向量的夾角公式，計算即可得到所求的值．

解答： 解：（1）以D為坐標原點，分別以DA，DC，DS所在直線為x．y，z軸，
建立空間直角坐標系，
則A（a，0，0），B（a，a，0），C（0，a，0），S（0，0a），E（0，0，λa），
即有

AE

=（-a，0，λa），

SC

=（0，a，-a），
即cosθ=|

AE • SC

| AE |•| SC |

|=|

-λa2

a2+λ2a2 • 2a2

|=

λ 2+2λ2

2+2λ2

，
當λ=

2

3

時，cosθ=

26

13

，
則異面直線AE和SC所成的角的余弦值

26

13

；
（2）由于

AE

=（-a，0，λa），

AC

=（-a，a，0），

AB

=（0，a，0），
設平面AEC的法向量

n

=（x，y，z），
則由

n

⊥

AE

，

n

⊥

AC

，即有

n

•

AE

=0，

n

•

AC

=0，
即-ax+λaz=0，且-ax+ay=0，
即有x=y=λz，可取

n

=（1，1，

1

λ

），
由于直線AB和平面AEC所成的角為30°，
則直線AB和平面AEC的法向量成60°的角，
即有cos60°=|

a

2+ 1 λ2 •a

|=

1

2

，
解得λ=

2

2

．

點評：本題考查空間的角：異面直線所成的角和線面角的求法，考查運用空間向量解決空間角的問題，考查運算能力，屬于中檔題．