Question

【題目】已知函數(shù)

（）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間和極值.

（）若對(duì)于任意，都有成立，求的取值范圍 ；

（）若且證明：

Answer 1

【答案】⑴詳見解析；⑵詳見解析.

【解析】試題分析：（1）求導(dǎo)數(shù)分類討論①時(shí),②當(dāng)時(shí)，令解得，當(dāng)時(shí)，當(dāng)寫出單調(diào)區(qū)間及極值．

（2）轉(zhuǎn)化為對(duì)于恒成立．分離參數(shù)對(duì)于恒成立,利用導(dǎo)數(shù)求不等式右邊的最大值即可．

（3）不妨設(shè)則,要證只要證即證因?yàn)?/span>在區(qū)間上單調(diào)遞增,所以

又即證構(gòu)造函數(shù)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,故而故

所以即所以成立．

試題解析：⑴

①時(shí),因?yàn)?/span>所以

函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，無單調(diào)遞減區(qū)間,無極值；

②當(dāng)時(shí)，令解得，

當(dāng)時(shí)，當(dāng)

所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是，

在區(qū)間上的極小值為無極大值．

⑵ 由題意，

即問題轉(zhuǎn)化為對(duì)于恒成立．

即對(duì)于恒成立,

令,則

令,則

所以在區(qū)間上單調(diào)遞增,故故

所以在區(qū)間上單調(diào)遞增,函數(shù)

要使對(duì)于恒成立,只要,

所以即實(shí)數(shù)的取值范圍為．

⑶ 因?yàn)?/span>由⑴知,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增,且

不妨設(shè)則,

要證只要證即證

因?yàn)?/span>在區(qū)間上單調(diào)遞增,所以

又即證

構(gòu)造函數(shù)

即

因?yàn)?/span>,所以即

所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,故

而故

所以即所以成立．