Question

已知S_n是等比數(shù)列{a_n}的前n項和，其公比為q，若S₃、S₉、S₆成等差數(shù)列．求
（1）q³的值；
（2）求證：a₃、a₉、a₆也成等差數(shù)列．

Answer 1

分析：（1）由等比數(shù)列的定義，驗證得當q=1時不符合題意，因此得q≠1．再由等比數(shù)列的求和公式，結(jié)合S₃、S₉、S₆成等差數(shù)列建立關于q的方程，解之即可得到q³的值；
（2）根據(jù)q³=-

1

2

，由等比數(shù)列的通項公式，化簡可得2a₉-（a₃+a₆）=0，即2a₉=a₃+a₆，可得a₃、a₉、a₆也成等差數(shù)列．

解答：解：（1）當q=1時，S₃=3a₁、S₉=9a₁、S₆=6a₁，
顯然S₃、S₉、S₆不能成等差數(shù)列，不符合題意，因此得q≠1      （1分）
由S₃、S₉、S₆成等差數(shù)列，得2S₉=S₃+S₆
即2•

a1(1-q9)

1-q

=

a1(1-q3)

1-q

+

a1(1-q6)

1-q

∴化簡可得2q⁶=1+q³，（4分）
即（2q³+1）（q³-1）=0，解之得q³=-

1

2

（舍去q³=1）（6分）
（2）由等比數(shù)列的通項公式，可得
a₉=a₁q⁸，a₃+a₆=a₁q²+a₁q⁵，
∵q³=-

1

2

∴2a₉-（a₃+a₆）=a₁q²（2q⁶-1-q³）
=a₁q²[2×（-

1

2

）²-1-（-

1

2

））=0
∴2a₉=a₃+a₆，可得a₃、a₉、a₆也成等差數(shù)列．（12分）

點評：本題給出等比數(shù)列的前3項和、前6項和與前9項和成等差數(shù)列，求它的公比并證明a₃、a₉、a₆也成等差數(shù)列．著重考查了等比數(shù)列的通項公式與求和公式，考查了等差中項的概念，屬于中檔題．