【題目】一位幼兒園老師給班上kk≥3)個小朋友分糖果.她發(fā)現(xiàn)糖果盒中原有糖果數(shù)為a0,就先從別處抓2塊糖加入盒中,然后把盒內(nèi)糖果的分給第一個小朋友;再從別處抓2塊糖加入盒中,然后把盒內(nèi)糖果的分給第二個小朋友;,以后她總是在分給一個小朋友后,就從別處抓2塊糖放入盒中,然后把盒內(nèi)糖果的分給第nn=1,2,3,k)個小朋友.如果設(shè)分給第n個小朋友后(未加入2塊糖果前)盒內(nèi)剩下的糖果數(shù)為an

1)當k=3,a0=12時,分別求a1,a2a3;

2)請用an-1表示an;令bn=n+1an,求數(shù)列{bn}的通項公式;

3)是否存在正整數(shù)kk≥3)和非負整數(shù)a0,使得數(shù)列{an}nk)成等差數(shù)列,如果存在,請求出所有的ka0,如果不存在,請說明理由.

【答案】1a1=7,a2=6a3=6 2an=an-1+2),bn=nn+1+a0 3)存在,當a0=0時,an=n,對任意正整數(shù)kk≥3),有{an}nk)成等差數(shù)列.

【解析】

1)由題意知:an=(an1+2an1+2),將k3,a012代入可得a1a2,a3;

2)將an=(an1+2an1+2)變形得(n+1annan1+2)=nan1+2n,即bnbn12n,利用累加法可得bnb0nn+1),進而得到數(shù)列{bn}的通項公式;

3)由(2)得ann,根據(jù)等差數(shù)列滿足a1+a32a2,代入求出a00,ann時,滿足條件.

1)當k3,a012時,

a1=(a0+2a0+2)=7,

a2=(a1+2a1+2)=6

a3=(a2+2a0+2)=6,

2)由題意知:an=(an1+2an1+2an1+2),

即(n+1annan1+2)=nan1+2n,

bn=(n+1an

bnbn12n,

bn1bn22n2,

b1b02

累加得bnb0nn+1

又∵b0a0,

bnnn+1+a0

3)由bnnn+1+a0,得ann

若存在正整數(shù)kk≥3)和非負整數(shù)a0,使得數(shù)列{an}nk)成等差數(shù)列,

a1+a32a2

即(1a0+3a022a0

a00

即當a00時,ann,對任意正整數(shù)kk≥3),有{an}nk)成等差數(shù)列.

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