【題目】設(shè)頂點在原點,焦點在軸上的拋物線過點,過作拋物線的動弦, ,并設(shè)它們的斜率分別為, .
(Ⅰ)求拋物線的方程;
(Ⅱ)若,求證:直線的斜率為定值,并求出其值;
(III)若,求證:直線恒過定點,并求出其坐標(biāo).
【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)見解析(III)見解析
【解析】試題分析:(Ⅰ)先利用焦點在軸上設(shè)出拋物線的方程,再代點進行求解;(Ⅱ)在拋物線上設(shè)點,利用斜率公式求相關(guān)直線的斜率,利用斜率和為0求出等量關(guān)系,進而可以證明;(III)利用斜率之積為定值得到等量關(guān)系,再寫出直線的點斜式方程,進而得到結(jié)論.
試題解析:(Ⅰ)依題意,可設(shè)所求拋物線的方程為,
因拋物線過點,故,拋物線的方程為.
(Ⅱ)設(shè),則,
同理
,∴, .
,即直線的斜率恒為定值,且值為.
(III),∴,∴.
直線的方程為 ,即.
將代入上式得即為直線的方程,
所以直線恒過定點,命題得證.
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【題目】已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)=a(x+1)(x﹣a),若f(x)在x=a處取到極大值,則a的取值范圍是 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=ax+x2﹣xlna(a>0且a≠1)
(1)求函數(shù)f(x)在點(0,f(0))處的切線方程;
(2)求函數(shù)f(x)單調(diào)區(qū)間;
(3)若存在x1 , x2∈[﹣1,1],使得|f(x1)﹣f(x2)|≥e﹣1(e是自然對數(shù)的底數(shù)),求實數(shù)a的取值范圍.
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【題目】已知三棱錐A﹣BPC中,AP⊥PC,AC⊥BC,M為AB的中點,D為PB的中點,且△PMB為正三角形.
(1)求證:BC⊥平面APC;
(2)若BC=3,AB=10,求三棱錐B﹣MDC的體積VB﹣MDC .
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【題目】已知函數(shù)f(x)=2x
(1)試求函數(shù)F(x)=f(x)+f(2x),x∈(﹣∞,0]的最大值;
(2)若存在x∈(﹣∞,0),使|af(x)﹣f(2x)|>1成立,試求a的取值范圍;
(3)當(dāng)a>0,且x∈[0,15]時,不等式f(x+1)≤f[(2x+a)2]恒成立,求a的取值范圍.
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【題目】已知函數(shù)圖象如圖,是的導(dǎo)函數(shù),則下列數(shù)值排序正確的是( )
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】結(jié)合函數(shù)的圖像可知過點的切線的傾斜角最大,過點的切線的傾斜角最小,又因為點的切線的斜率,點的切線斜率,直線的斜率,故,應(yīng)選答案C。
點睛:本題旨在考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義與函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識的綜合運用。求解時充分借助題設(shè)中所提供的函數(shù)圖形的直觀,數(shù)形結(jié)合進行解答。先將經(jīng)過兩切點的直線繞點逆時針旋轉(zhuǎn)到與函數(shù)的圖像相切,再將經(jīng)過兩切點的直線繞點順時針旋轉(zhuǎn)到與函數(shù)的圖像相切,這個過程很容易發(fā)現(xiàn),從而將問題化為直觀圖形的問題來求解。
【題型】單選題
【結(jié)束】
9
【題目】已知、為雙曲線:的左、右焦點,點在上,,則( )
A. B. C. D.
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【題目】函數(shù),則下列結(jié)論錯誤的是( )
A. 是偶函數(shù) B. 的值域是
C. 方程的解只有 D. 方程的解只有
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【題目】已知數(shù)列{an}滿足a1=0,an+1=an+2 +1
(1)求證數(shù)列{ }是等差數(shù)列,并求出an的通項公式;
(2)若bn= ,求數(shù)列的前n項的和Tn .
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【題目】已知在直角坐標(biāo)系xOy中,圓C的參數(shù)方程為 (θ為參數(shù)),以坐標(biāo)原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線l的極坐標(biāo)方程為 . (Ⅰ)求圓C的普通方程和直線l的直角坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)設(shè)M是直線l上任意一點,過M做圓C切線,切點為A、B,求四邊形AMBC面積的最小值.
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