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精英家教網如圖，過橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1 (a＞b＞0)的左焦點F1作x軸的垂線交橢圓于點P，
點A和點B分別為橢圓的右頂點和上頂點，OP∥AB．
（1）求橢圓的離心率e；
（2）過右焦點F2作一條弦QR，使QR⊥AB．若△F1QR的面積為20
3
，求橢圓的方程．
分析：（1）由于F1（-c，0），P(-c，
b2
a
)．且OP∥AB，根據直線的斜率相等得到：kOP=kAB解得：b=c．從而a=
2
c，即可求得橢圓的離心率e；
（2）由（1）知橢圓方程可化簡為x2+2y2=2b2．①易求直線QR的斜率為
2
，故可設直線QR的方程為：y=
2
(x-b) 將直線的方程代入橢圓的方程，消去y得到關于x的一元二次方程，再結合根系數的關系利用弦長公式即可求得b值，從而解決問題．
解答：解：（1）∵F1（-c，0），∴P(-c，
b2
a
)．
∵OP∥AB，∴kOP=kAB，∴
b2
a
c
=
b
a
，
解得：b=c．∴a=
2
c，故e=
2
2
．
（2）由（1）知橢圓方程可化簡為x2+2y2=2b2．
①易求直線QR的斜率為
2
，故可設直線QR的方程為：y=
2
(x-b)．②
由①②消去y得：5x2-8bx+2b2=0．
∴x1+x2=
8b
5
，x1x2=
2b2
5
．
于是△F1QR的面積S=c•|y1-y2|=
2
c•|x1-x2|=
2
b•
(x1+x2)2-4x1x2
=
2
b•
(
8b
5
)2-4×
2b2
5
=
4
3
5
b2=20
3
，∴b=5．因此橢圓的方程為x2+2y2=50，即
x2
50
+
y2
25
=1
點評：本題主要考查了橢圓的簡單性質，橢圓的標準方程，解題的關鍵是要求考生對橢圓基礎知識的熟練掌握．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

精英家教網如圖，過橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上的動點M引圓O：x2+y2=b2的兩條切線MA，MB，其中A，B分別為切點，，若橢圓上存在點M，使∠BMA=
π
2
，則該橢圓的離心率為
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

精英家教網如圖，以橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1 (a＞b＞0)的中心O為圓心，分別以a和b為半徑作大圓和小圓．過橢圓右焦點F（c，0）（c＞b）作垂直于x軸的直線交大圓于第一象限內的點A．連接OA交小圓于點B．設直線BF是小圓的切線．
（1）求證c2=ab，并求直線BF與y軸的交點M的坐標；
（2）設直線BF交橢圓于P、Q兩點，求證
OP
•
OQ
=
1
2
b2．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
3
2
，且過點A（0，1）．
（1）求橢圓的方程；
（2）過點A作兩條互相垂直的直線分別交橢圓于M，N兩點．求證：直線MN恒過定點P（0，-
3
5
）．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（如圖）過橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左焦點F任作一條與兩坐標軸都不垂直的弦AB；若點M在x軸上，且使得MF為△AMB的一條內角平分線，則稱點M為該橢圓的“左特征點”．
（1）求橢圓
x2
5
+y2=1的“左特征點”M的坐標．
（2）試根據（1）中的結論猜測：橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的“左特征點”M是一個怎么樣的點？并證明你的結論．

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