Question

(本小題滿分13分)
某旅游景區(qū)的觀景臺P位于高(山頂?shù)缴侥_水平面M的垂直高度PO)為2km的山峰上，山腳下有一段位于水平線上筆直的公路AB，山坡面可近似地看作平面PAB，且△PAB為等腰三角形.山坡面與山腳所在水平面M所成的二面角為α(0°＜α＜90°)，且sinα＝.現(xiàn)從山腳的水平公路AB某處C0開始修建一條盤山公路，該公路的第一段、第二段、第三段…，第n－1段依次為C0C1，C1C2，C2C3，…，Cn－1Cn(如圖所示)，且C0C1，C1C2，C2C3，…，Cn－1Cn與AB所成的角均為β，其中0＜β＜90°，sinβ＝.試問：

(1)每修建盤山公路多少米，垂直高度就能升高100米.若修建盤山公路至半山腰(高度為山高的一半)，在半山腰的中心Q處修建上山纜車索道站，索道PQ依山而建(與山坡面平行，離坡面高度忽略不計)，問盤山公路的長度和索道的長度各是多少？
(2)若修建xkm盤山公路，其造價為 a萬元.修建索道的造價為2a萬元/km.問修建盤山公路至多高時，再修建上山索道至觀景臺，總造價最少.

Answer 1

（1）從山腳至半山腰，盤山公路為10km.從半山腰至山頂，索道長2.5km
（2）即修建盤山公路至山高1km時，總造價最小

解：(1)在盤山公路C0C1上任選一點D，作DE⊥平面M交平面M于E，過E作EF⊥AB交AB于F，連結(jié)DF，易知DF⊥C0F.sin∠DFE＝，sin∠DC0F＝.
∵DF＝C0D，DE＝DF，∴DE＝C0D，
所以盤山公路長度是山高的10倍，索道長是山高的倍，
所以每修建盤山公路1000米，垂直高度升高100米.
從山腳至半山腰，盤山公路為10km.從半山腰至山頂，索道長2.5km.(6分)
(2)設(shè)盤山公路修至山高x(0＜x＜2)km，則盤山公路長為10xkm，索道長(2－x)km.
設(shè)總造價為y萬元，
則y＝a＋(2－x)·2a＝(10－5x)a＋10a.
令y′＝－5a＝0，則x＝1.
當(dāng)x∈(0,1)時，y′＜0，函數(shù)y單調(diào)遞減；當(dāng)x∈(1,2)時，y′>0，函數(shù)y單調(diào)遞增，
∴x＝1，y有最小值，即修建盤山公路至山高1km時，總造價最小，最小值為15萬元