Question

已知圓O的半徑為R （R為常數(shù)），它的內(nèi)接三角形ABC滿足2R(sin2A-sin2C)=(

2

a-b)sinB成立，其中a，b，c分別為∠A，∠B，∠C的對邊，求三角形ABC面積S的最大值．

Answer 1

考點：余弦定理

專題：三角函數(shù)的求值

分析：已知等式兩邊乘以2R，利用正弦定理化簡得到關系式，再利用余弦定理表示出cosC，將得出的關系式代入求出cosC的值，確定出C度數(shù)，進而求出A+B度數(shù)，用B表示出A，利用三角形面積公式變形出S，利用積化和差公式變形后，根據(jù)余弦函數(shù)的值域即可確定出S的最大值．

解答： 解：由2R（sin²A-sin²C）=（

2

a-b）sinB，
∴4R²（sin²A-sin²C）=2R（

2

a-b）sinB，
由正弦定理得a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC代入得a²-c²=

2

ab-b²，即a²+b²-c²=

2

ab，
∴由余弦定理得：cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

2

2

，
∴C=

π

4

，即A+B=

3π

4

，
∴S=

1

2

absinC=

2

4

ab=

2

4

•4R²sinAsinB=

2

R²sinAsin（

3π

4

-A）=-

2

2

R²[cos

3π

4

-cos（2A-

3π

4

）]=

2

2

R²cos（2A-

3π

4

）+

1

2

R²，
當且僅當A=B=

3

8

π時，cos（2A-

3π

4

）_max=1，
則S_max=

2 +1

2

R²．

點評：此題考查了正弦、余弦定理，三角形面積公式，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握定理是解本題的關鍵．