Question

【題目】如圖所示，正方體ABCD﹣A′B′C′D′的棱長為1，E，F分別是棱AA′，CC′的中點，過直線E，F的平面分別與棱BB′、DD′交于M，N，設(shè)BM＝x，x∈[0，1]，給出以下四個命題：

①平面MENF⊥平面BDD′B′；

②當(dāng)且僅當(dāng)x＝時，四邊形MENF的面積最小；

③四邊形MENF周長L＝f（x），x∈[0，1]是單調(diào)函數(shù)；

④四棱錐C′﹣MENF的體積V＝h（x）為常函數(shù)；

以上命題中假命題的序號為（　�。�

A. ①④B. ②C. ③D. ③④

Answer 1

【答案】C

【解析】

①利用面面垂直的判定定理去證明平面；②四邊形的對角線是固定的，所以要使面積最小，則只需的長度最小即可；③判斷周長的變化情況；④求出四棱錐的體積，進行判斷．

①連結(jié)，，則由正方體的性質(zhì)可知，平面，所以平面平面，所以①正確；②連結(jié)，因為平面，所以，四邊形的對角線是固定的，所以要使面積最小，則只需的長度最小即可，此時當(dāng)為棱的中點時，即時，此時長度最小，對應(yīng)四邊形的面積最小，所以②正確；③因為，所以四邊形是菱形，當(dāng)時，的長度由大變小，當(dāng)時，的長度由小變大，所以函數(shù)不單調(diào)，所以③錯誤；④連結(jié)，，，則四棱錐可分割為兩個小三棱錐，它們以為底，以，分別為頂點的兩個小棱錐，因為三角形的面積是個常數(shù)，，到平面的距離是個常數(shù)，所以四棱錐的體積為常函數(shù)，所以④正確，所以四個命題中③假命題，所以選C．