已知冪函數(shù)f(x)=x
3
2
+k-
1
2
k2
(k∈Z)

(1)若f(x)為偶函數(shù),且在(0,+∞)上是增函數(shù),求f(x)的解析式;
(2)若f(x)在(0,+∞)上是減函數(shù),求k的取值范圍.
分析:(1)根據(jù)冪函數(shù)f(x)=x
3
2
+k-
1
2
k2
(k∈Z)
在(0,+∞)上是增函數(shù),可以得到
3
2
+k-
1
2
k2>0
,再根據(jù)f(x)為偶函數(shù),即可求得k的值,從而求得f(x)的解析式;
(2)根據(jù)f(x)在(0,+∞)上是減函數(shù),可以得到
3
2
+k-
1
2
k2<0
,求解即可得到實數(shù)k的取值范圍.
解答:解:(1)冪函數(shù)f(x)=x
3
2
+k-
1
2
k2
(k∈Z)
,
又∵f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù),
3
2
+k-
1
2
k2>0
,
解得-1<k<3,
又∵k∈Z,
∴k=0,1,2,
∵f(x)為偶函數(shù),
①當(dāng)k=0時,
3
2
+0-
1
2
×02=
3
2
,f(x)為奇函數(shù),不符合題意;
②當(dāng)k=1時,
3
2
+1-
1
2
×12=2
,f(x)為偶函數(shù),符合題意;
③當(dāng)k=2時,
3
2
+2-
1
2
×22=
3
2
,f(x)為奇函數(shù),不符合題意.
∴k=1,
f(x)=x2;
(2)∵冪函數(shù)f(x)=x
3
2
+k-
1
2
k2
(k∈Z)

又∵f(x)在(0,+∞)上是減函數(shù),
3
2
+k-
1
2
k2<0
,
解得k<-1或k>3(k∈Z),
∴k的取值范圍為{k∈Z|k<-1或k>3}.
點(diǎn)評:本題考查了冪函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性及其應(yīng)用,冪函數(shù)的圖象及其與指數(shù)的關(guān)系,冪函數(shù)的性質(zhì),函數(shù)解析式的求解及常用方法.對于冪函數(shù)的問題,關(guān)鍵是正確的畫出冪函數(shù)的圖象,根據(jù)冪函數(shù)在第一象限的圖形,結(jié)合冪函數(shù)的定義域、奇偶性,即可畫出冪函數(shù)的圖象,應(yīng)用圖象研究冪函數(shù)的性質(zhì).對于求函數(shù)解析式的方法,一般有:待定系數(shù)法,換元法,湊配法,消元法等.解題時要認(rèn)真審題,仔細(xì)解答,注意合理地進(jìn)行選擇合適的方法.屬于基礎(chǔ)題.
練習(xí)冊系列答案
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已知冪函數(shù)f(x)=x-m2+2m+3(m∈Z)為偶函數(shù)且在區(qū)間(0,+∞)上是單調(diào)增函數(shù).
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)設(shè)函數(shù)g(x)=2
f(x)
-qx+q-1
,若g(x)>0對任意x∈[-1,1]恒成立,求實數(shù)q的取值范圍.

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.已知冪函數(shù)f(x)=xk2-2k-3(k∈N*)的圖象關(guān)于y軸對稱,且在區(qū)間(0,+∞)上是減函數(shù),
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)若a>k,比較(lna)0.7與(lna)0.6的大。

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已知冪函數(shù)f(x)=xm2-2m-3(m∈Z)的圖象與x軸、y軸無公共點(diǎn)且關(guān)于y軸對稱.
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