Question

（本小題滿分14分）已知一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)都是1或2．首項(xiàng)為1，且在第個(gè)1和第個(gè)1之間有個(gè)2，即1，2，1，2，2，2，1，2，2，2，2，2，1，…．記數(shù)列的前項(xiàng)的和為．參考：31×32=992，32×33＝1056，44×45=1980，45×46=2070
（I）試問第10個(gè)1為該數(shù)列的第幾項(xiàng)？
（II）求和；
（III）是否存在正整數(shù)，使得？如果存在,求出的值；如果不存在,請(qǐng)說明理由．

Answer 1

（I）91（項(xiàng)）；（II） ；
（III）存在=993+29=1022，使．

試題分析：（1）根據(jù)題意將第個(gè)1與第個(gè)1前的2記為第對(duì)，那么結(jié)合已知條件得到前對(duì)共有項(xiàng)數(shù)為
（2）因44×45=1980，45×46=2070，2012-1980=32，
故第2012項(xiàng)在第45對(duì)中的第32個(gè)數(shù)。
（3）由于前k對(duì)所在全部項(xiàng)的和為，可知結(jié)論。
解：將第個(gè)1與第個(gè)1前的2記為第對(duì)，
即為第1對(duì)，共項(xiàng)；
為第2對(duì)，共項(xiàng)；……；
為第對(duì)，共項(xiàng)；
故前對(duì)共有項(xiàng)數(shù)為．        
（I）第10個(gè)1所在的項(xiàng)之前共有9對(duì)，所以10個(gè)1為該數(shù)列的
9×(9+1)+1=91（項(xiàng)）                              …………3分
（II）因44×45=1980，45×46=2070，2012-1980=32，
故第2012項(xiàng)在第45對(duì)中的第32個(gè)數(shù)，從而
　　又前2012項(xiàng)中共有45個(gè)1，其余2012－45＝1967個(gè)數(shù)均為2，
于是   ……………………7分
（III）前k對(duì)所在全部項(xiàng)的和為，易得，
，，
即且自第994項(xiàng)到第1056項(xiàng)均為2，而2012-1954=58能被2整除，
故存在=993+29=1022，使．     ……………………14分
點(diǎn)評(píng)：解決該試題的關(guān)鍵是先將數(shù)列分組，便于發(fā)現(xiàn)規(guī)律，如分為（1，2），（1，2，2，2），（1，2，2，2，2,2）…，每組的項(xiàng)數(shù)構(gòu)成數(shù)列2，4，6，…，發(fā)現(xiàn)將第個(gè)1與第個(gè)1前的2記為第對(duì)，則前對(duì)共有項(xiàng)數(shù)為最后數(shù)列分組求和即可。