設(shè)函數(shù),曲線y=f(x)在點(2,f(2))處的切線方程為y=3.
(Ⅰ)求f(x)的解析式:
(Ⅱ)證明:函數(shù)y=f(x)的圖象是一個中心對稱圖形,并求其對稱中心;
(Ⅲ)證明:曲線y=f(x)上任一點的切線與直線x=1和直線y=x所圍三角形的面積為定值,并求出此定值.
【答案】分析:(I)欲求在點(2,f(2))處的切線方程,只須求出其斜率的值即可,故先利用導(dǎo)數(shù)求出在x=2處的導(dǎo)函數(shù)值,再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率.從而問題解決.
(Ⅱ)由函數(shù)y1=x,都是奇函數(shù).可得和函數(shù)也是奇函數(shù),其圖象是以原點為中心的中心對稱圖形.再按向量a=(1,1)平移,即得到函數(shù)f(x)的圖象,故函數(shù)f(x)的圖象是以點(1,1)為中心的中心對稱圖形.
(Ⅲ)先在曲線上任取一點.利用導(dǎo)數(shù)求出過此點的切線方程為,令x=1得切線與直線x=1交點.令y=x得切線與直線y=x交點.從而利用面積公式求得所圍三角形的面積為定值.
解答:解:(Ⅰ),
于是
解得
因a,b∈Z,故
(Ⅱ)證明:已知函數(shù)y1=x,都是奇函數(shù).
所以函數(shù)也是奇函數(shù),其圖象是以原點為中心的中心對稱圖形.
.可知,函數(shù)g(x)的圖象按向量a=(1,1)平移,即得到函數(shù)f(x)的圖象,
故函數(shù)f(x)的圖象是以點(1,1)為中心的中心對稱圖形.
(Ⅲ)證明:在曲線上任取一點
知,過此點的切線方程為
令x=1得,切線與直線x=1交點為
令y=x得y=2x-1,切線與直線y=x交點為(2x-1,2x-1).
直線x=1與直線y=x的交點為(1,1).
從而所圍三角形的面積為
所以,所圍三角形的面積為定值2.
點評:本小題主要考查直線的斜率、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程、函數(shù)解析式的求解及待定系數(shù)法等基礎(chǔ)知識,考查運(yùn)算求解能力.屬于基礎(chǔ)題.
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