Question

6．已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+c，當(dāng)x=-1時(shí)，f（x）的極大值為7；當(dāng)x=3時(shí)，f（x）有極小值．
（I）求a，b，c的值；
（Ⅱ）求f（x）在[-2，4]上的最小值．

Answer 1

分析 （I）利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，函數(shù)的極值，列出方程組，即可求a，b，c的值；
（Ⅱ）通過函數(shù)的單調(diào)性，極值以及端點(diǎn)值，求解函數(shù)的最值即可，

解答 （本小題滿分12分）
解：（I）由已知得f′（x）=3x²+2ax+b，
∵$\left\{\begin{array}{l}{f^/}（-1）=0\\{f^/}（3）=0\\ f（-1）=7\end{array}\right.∴\left\{\begin{array}{l}3-2a+b=0\\ 27+6a+b=0\\-1+a-b+c=7\end{array}\right.∴\left\{\begin{array}{l}a=-3\\ b=-9\\ c=2\end{array}\right.$…（6分）
（Ⅱ）由（1），f′（x）=3（x+1）（x-3），當(dāng)-1＜x＜3時(shí)，f′（x）＜0；當(dāng)x＞3或x＜-1時(shí)，f′（x）＞0，故x=3時(shí)，f（x）取得極小值，極小值為f（3）=-25
又f（-2）=0∴f（x）在[-2，4]上的最小值為-25．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的最值的求法，函數(shù)的極值以及函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想與計(jì)算能力．