【題目】已知函數(shù)f(x)=2lnx+ax﹣ (a∈R)在x=2處的切線經(jīng)過點(﹣4,2ln2)
(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性
(2)若不等式 恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.

【答案】
(1)解:由f(x)=2lnx+ax﹣ (a∈R),求導f′(x)= +a+ ,

當x=2時,f′(2)=1+a+f′(2),

∴a=﹣1,

設切點為(2,2ln2+2a﹣2f′(2)),則切線方程y﹣(2ln2+2a﹣2f′(2))=f′(2)(x﹣2),

將(﹣4,2ln2)代入切線方程,2ln2﹣2ln2﹣2a+2f′(2))=﹣6f′(2),則f′(2)=﹣ ,

∴f′(x)= ﹣1﹣ = ≤0,

∴f(x)在(0,+∞)單調(diào)遞減


(2)解:由不等式 恒成立,則 (2lnx+ )>m,

令φ(x)=2lnx+ ,(x>0)求導φ′(x)= ﹣1=﹣( ﹣1)2≤0,

∴φ(x)在(0,+∞)單調(diào)遞減,

由φ(1)=0,

則當0<x<1時,φ(x)>0,

當x>1時,φ(x)<0,

(2lnx+ )在(0,+∞)恒大于0,

∴m≤0,

實數(shù)m的取值范圍(﹣∞,0]


【解析】(1)求導,當x=2時,代入f′(x),即可求得a=﹣1,求得點斜式方程,將(﹣4,2ln2)代入點斜式方程,即可求得f′(2),即可求得函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)由題意可知 (2lnx+ )>m,構(gòu)造輔助函數(shù),求導,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及零點性質(zhì),求得 (2lnx+ )最小值,即可求得實數(shù)m的取值范圍.
【考點精析】本題主要考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導數(shù)的相關(guān)知識點,需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的正負有如下關(guān)系: 在某個區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減;求函數(shù)上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值比較,其中最大的是一個最大值,最小的是最小值才能正確解答此題.

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A.(1, ]
B.(1, ]
C.[ ,+∞)
D.[ ,+∞)

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A.
B.
C.
D.

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【題目】某公司為了了解用戶對其產(chǎn)品的滿意度,從A,B兩地區(qū)分別隨機調(diào)查了40個用戶,根據(jù) 用戶對其產(chǎn)品的滿意度的評分,得到A地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖和B地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布表.A地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖
B地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布表

滿意度評分分組

[50,60)

[50,60)

[50,60)

[50,60)

[50,60)

頻數(shù)

2

8

14

10

6


(1)(I)在答題卡上作出B地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖,并通過此圖比較兩地區(qū)滿意度評分的平均值及分 散 程度.(不要求計算出具體值,給出結(jié)論即可)
B地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖

(2)(II)根據(jù)用戶滿意度評分,將用戶的滿意度評分分為三個等級:

滿意度評分

低于70分

70分到89分

不低于90分

滿意度等級

不滿意

滿意

非常滿意

估計那個地區(qū)的用戶的滿意度等級為不滿意的概率大,說明理由.

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A.(1,3)
B.(1, 4)
C.(2,3)
D.(2,4)

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