Question

在平面直角坐標(biāo)系中，定點(diǎn)M（1，0），兩動(dòng)點(diǎn)A，B在雙曲線x²-3y²=3的右支上，則cos∠AMB的最小值是（　�。�

• A、-

  1

  2

• B、

  1

  2

• C、-

  1

  3

• D、

  1

  3

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：雙曲線

x2

3

-y2=1右頂點(diǎn)為（

3

，0）過(guò)M（1，0）向雙曲線引切線，兩條切線所夾的角為符合題意的∠AMB最大角，當(dāng)∠AMB最大時(shí)，它的余弦值cos∠AMB取最小值．

解答： 解：雙曲線

x2

3

-y2=1右頂點(diǎn)為（

3

，0）
過(guò)M（1，0）向雙曲線引切線，
兩條切線所夾的角為∠AMB最大角．
由余弦函數(shù)的性質(zhì)知，當(dāng)∠AMB最大時(shí)，cos∠AMB取最小值．
切點(diǎn)分別為A，B，
設(shè)切線的斜率為k，切線方程為y=k（x-1），
代入

x2

3

-y2=1，得

x2

3

-k2(x-1)2=1，
即（1-3k²）x²+6k²x-3k²-3=0，
△=36k?+12（k²+1）（1-3k²）=0
整理：1-2k²=0，k²=

1

2

，
設(shè)∠AMB=2θ，則∠AMx=θ
tanθ=

2

2

=|k|，
∴tan2θ=

2tanθ

1-tan2θ

=

2

1- 1 2

=2

2

．
∴sin2θ=

2 2

3

，cos2θ=

1

3

∴當(dāng)∠AMB最大時(shí)，它的余弦值cos∠AMB的最小值為

1

3

．
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查角的余弦值的最小值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．