Question

如圖，已知橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，離心率為

3

2

，且經(jīng)過點M（4，1）．直線l：y=x+m交橢圓于A，B兩不同的點．
（1）求橢圓的方程；
（2）當|AB|=

12

5

2

時，求m的值；
（3）若直線l不過點M，求證：直線MA，MB與x軸圍成一個等腰三角形．

Answer 1

分析：（1）設橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1由e=

3

2

 可得a，b之間的關系，再由橢圓過點M（4，1），代入橢圓方程可得a，b得另一個關系式，聯(lián)立可求
（2）將y=x+m代入

x2

20

+

y2

5

=1，整理可得5x²+8mx+4m²-20=0，由|AB|=

2

|x1-x2|=

4 2

5

25-m2

可求m
（3）設直線MA，MB的斜率分別為k₁和k₂，要證明直線MA，MB與x軸圍成一個等腰三角形．只要證明k₁+k₂=0即可

解答：解：（1）設橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1
因為e=

3

2

 所以a=2b
又橢圓過點M（4，1），所以

16

a2

+

1

b2

=1解得a=2

5

，b=

5

故橢圓方程為

x2

20

+

y2

5

=1
（2）將y=x+m代入

x2

20

+

y2

5

=1
5x²+8mx+4m²-20=0
|AB|=

2

|x1-x2|=

4 2

5

25-m2

=

12 2

5

，得到m=±4
（3）設直線MA，MB的斜率分別為k₁和k₂，只要證明k₁+k₂=0
設A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），則x1+x2=-

8m

5

， x1x2=

4m2-20

5

k1+k2=

y1-1

x1-4

+

y2-1

x2-4

=

(y1-1)(x2-4)+(y2-1)(x1-4)

(x1-4)(x2-4)

分子=（x₁+m-1）（x₂-4）+（x₂+m-1）（x₁-4）
=2x₁x₂+（m-5）（x₁+x₂）-8（m-1）
=

2(4m2-20)

5

-

8m(m-5)

5

-8(m-1)=0
因此MA，MB與x軸所圍成的三角形為等腰三角形

點評：本題主要考查了利用橢圓的性質(zhì)求解橢圓的方程，在處理直線與橢相交的位置關系的處理中，聯(lián)立方程是最常用的處理方法，根與系數(shù)的關系的應用是處理此類問題的關鍵所在，