15.(1)設(shè)函數(shù)f(x)=$\sqrt{|{x+1}|+|{x-2}|-a}$的定義域為R,試求a的取值范圍;
(2)已知實數(shù)x,y,z滿足x+2y+3z=1,求x2+y2+z2的最小值.

分析 (1)利用絕對值不等式的性質(zhì)可得:|x+1|+|x-2|≥|x+1-(x-2)|=3,即可得出;
(2)利用柯西不等式的性質(zhì)即可得出.

解答 解:(1)由題設(shè)知,當(dāng)x∈R時,恒有|x+1|+|x-2|-a≥0,
即|x+1|+|x-2|≥a,又|x+1|+|x-2|≥|x+1-(x-2)|=3,
∴a≤3.
(2)由柯西不等式(x2+y2+z2)(12+22+32)≥(x+2y+3z)2=1,
∴x2+y2+z2≥$\frac{1}{14}$,
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{x}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z}{3}$時,即x=$\frac{1}{14}$,y=$\frac{1}{7}$,z=$\frac{3}{14}$時,
x2+y2+z2的最小值為$\frac{1}{14}$.

點評 本題考查了絕對值不等式的性質(zhì)、柯西不等式的性質(zhì),考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

8.在極坐標(biāo)系中,過點$({2,\frac{3π}{2}})$且平行于極軸的直線的極坐標(biāo)方程是ρsinθ=-2.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

7.如圖,在四邊形ABCD中,|$\overrightarrow{AB}|+|\overrightarrow{BD|}+|\overrightarrow{DC}$|=4,$(|\overrightarrow{AB}|+|\overrightarrow{DC}|)|\overrightarrow{BD}$|=4,$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{DC}$=0,則$(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC})•\overrightarrow{AC}$的值為( 。
A.2B.2$\sqrt{2}$C.4D.4$\sqrt{2}$

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

3.如圖,矩形CDEF所在的平面與矩形ABCD所在的平面垂直,AD=$\sqrt{2}$,DE=$\sqrt{3}$,AB=4,EG=$\frac{1}{4}$EF,點M在線段GF上(包括兩端點),點
N在線段AB上,且$\overrightarrow{GM}$=$\overrightarrow{AN}$,則二面角M-DN-C的平面角的取值范圍為( 。
A.[30°,45°]B.[45°,60°]C.[30°,90°)D.[60°,90°)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

10.已知函數(shù)f(x)=ax,g(x)=lnx+3.
(1)當(dāng)a=1時,請用導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù);
(2)求函數(shù)g(x)在點(1,3)處的切線方程;
(3)若函數(shù)h(x)=f(x)-g(x)在x∈[e-4,e]上的圖象與直線y=t(0≤t≤1)總有兩個不同交點,求實數(shù)a的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

20.在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AA1=3,E為B1C1的中點,F(xiàn)在CC1上,且C1F=1,G在AA1上,且AG=2.
(1)證明:DG∥平面A1EF;
(2)設(shè)平面A1EF與DD1交于點H,求線段DH的長,并求出直線BH與截面A1EFH所成角的正弦值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

7.設(shè)x,y,z∈R,若x+2y+z=4.
(1)求x2+y2+z2的最小值;
(2)求x2+(y-1)2+z2的最小值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

4.若A,B,C是函數(shù)f(x)=ex+x圖象上橫坐標(biāo)成等差數(shù)列的三個點,給出以下判斷:①△ABC可能是直角三角形;②△ABC一定是鈍角三角形;③△ABC可能是等腰三角形;④△ABC一定不是等腰三角形.其中,正確的判斷是( 。
A.①③B.①④C.②③D.②④

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

3.設(shè)數(shù)列{an}滿足$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{2}$(n≥2),且a1+4是a2,a3的等差中項.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)求數(shù)列$\left\{{\frac{n}{a_n}}\right\}$的前n項和Tn,求證:$\frac{1}{2}≤{T_n}$<2.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案