Question

已知函數(shù)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.

（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，若對(duì)任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的值；

（Ⅲ）求證：.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）時(shí)，單調(diào)遞增區(qū)間為；時(shí)，單調(diào)遞減區(qū)間為，

單調(diào)遞增區(qū)間為；（Ⅱ）； （Ⅲ）證明見(jiàn)解析

【解析】

試題分析：（Ⅰ）利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)和分類討論得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）先由（Ⅰ）中時(shí)的單調(diào)性可知，即，構(gòu)造函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)分析可得在上增，在上遞減，則，由對(duì)任意的恒成立，故，得；（Ⅲ）先由（Ⅱ），即，從而問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化為證.

試題解析：（Ⅰ）                           1分

時(shí)，，在上單調(diào)遞增。                      2分

時(shí)，時(shí)，，單調(diào)遞減，

時(shí)，，單調(diào)遞增.             4分

（Ⅱ）由（Ⅰ），時(shí)，

                           5分

即，記 

 

在上增，在上遞減

故，得                         8分

（Ⅲ）由（Ⅱ），即，則時(shí)，

要證原不等式成立，只需證：，即證：

下證    ①                                      9分

①中令，各式相加，得

            成立，                          

故原不等式成立.                                                  14分

方法二：時(shí)，

時(shí)，

時(shí)，

考點(diǎn)：1.利用導(dǎo)數(shù)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性；2.利用導(dǎo)數(shù)處理不等式的恒成立問(wèn)題；3.等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法