(2012•江蘇)已知正數(shù)a,b,c滿足:5c-3a≤b≤4c-a,clnb≥a+clnc,則
ba
的取值范圍是
[e,7]
[e,7]
分析:由題意可求得
1
4
c
a
≤2,而5×
c
a
-3≤
b
a
≤4×
c
a
-1,于是可得
b
a
≤7;由c ln b≥a+c ln c可得0<a≤cln
b
c
,從而
b
a
b
c
ln
b
c
,設函數(shù)f(x)=
x
lnx
(x>1),利用其導數(shù)可求得f(x)的極小值,也就是
b
a
的最小值,于是問題解決.
解答:解:∵4c-a≥b>0
c
a
1
4
,
∵5c-3a≤4c-a,
c
a
≤2.
從而
b
a
≤2×4-1=7,特別當
b
a
=7時,第二個不等式成立.等號成立當且僅當a:b:c=1:7:2.
又clnb≥a+clnc,
∴0<a≤cln
b
c

從而
b
a
b
c
ln
b
c
,設函數(shù)f(x)=
x
lnx
(x>1),
∵f′(x)=
lnx-1
(lnx)2
,當0<x<e時,f′(x)<0,當x>e時,f′(x)>0,當x=e時,f′(x)=0,
∴當x=e時,f(x)取到極小值,也是最小值.
∴f(x)min=f(e)=
e
lne
=e.
等號當且僅當
b
c
=e,
b
a
=e成立.代入第一個不等式知:2≤
b
a
=e≤3,不等式成立,從而e可以取得.等號成立當且僅當a:b:c=1:e:1.
從而
b
a
的取值范圍是[e,7]雙閉區(qū)間.
點評:本題考查不等式的綜合應用,得到
b
a
b
c
ln
b
c
,通過構造函數(shù)求
b
a
的最小值是關鍵,也是難點,考查分析與轉化、構造函數(shù)解決問題的能力,屬于難題.
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3
3
3
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bn
an
,n∈N*,,求證:數(shù)列{(
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an
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(2)設bn+1=
2
bn
an
,n∈N*,且{an}是等比數(shù)列,求a1和b1的值.

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