Question

【題目】如圖，，，，，分別為，邊的中點(diǎn)，以為折痕把折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，且..

（Ⅰ）證明：平面；

（Ⅱ）設(shè)為線段上動(dòng)點(diǎn)，求直線與平面所成角的正弦值的最大值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；

（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）由題，易證得，即可證得結(jié)論；

（Ⅱ）取BE的中點(diǎn)O,連接PO,易證得PO，然后以O(shè)為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，利用空間向量求得與平面所成角的正弦值，求得其最大值即可.

（Ⅰ）E,F分別為AB ,AC邊的中點(diǎn),所以

因?yàn)?/span>

又因?yàn)?/span> ，所以平面．

（Ⅱ）取BE的中點(diǎn)O,連接PO,

由（1）知平面,EF平面BCFE，,

所以平面PBE平面BCFE

因?yàn)镻B=BE=PE,所以PO,

又因?yàn)镻O平面PBE,平面PBE平面BCFE=BE

所以PO .

過(guò)O作OM//BC交CF于M,分別以O(shè)B，OM，OP所在直線為

x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示.

N為線段PF上一動(dòng)點(diǎn)設(shè),由,

得

設(shè)平面PCF的法向量為

則 即取

設(shè)直線BN與平面PCF所成角

直線BN與平面PCF所成角的正弦值的最大值為