Question

已知定義在R上的函數(shù)y=f（x）是偶函數(shù)，且x≥0時，f（x）=2^（x-1）．
（1）當x＜0時，求f（x）解析式；
（2）當x∈[-1，m]（m＞-1）時，求f（x）取值的集合．
（3）當x∈[a，b]時，函數(shù)的值域為[

1

2

，2]，求a，b滿足的條件．

Answer 1

分析：（1）求哪設(shè)哪，利用函數(shù)y=f（x）是偶函數(shù)，可求x＜0時f（x）的解析式；
（2）對參數(shù)m分類討論，利用函數(shù)的單調(diào)性，即可求f（x）取值的集合；
（3）根據(jù)x∈[a，b]時，函數(shù)的值域為[

1

2

，2]，利用f（x）的單調(diào)性和對稱性，可求a，b滿足的條件．

解答：解：（1）函數(shù)y=f（x）是偶函數(shù)，∴f（x）=f（-x）
當x＜0時，-x＞0，∴f（x）=f（-x）=2^（-x-1）
∴當x＜0時，f（x）=2^（-x-1）
（2）當-1＜m＜0時，x∈[-1，m]，f（x）=2^（-x-1）為減函數(shù)，∴f（x）取值的集合為[2^-m-1，1]
當0≤m＜1時，x∈[-1，m]，f（x）在區(qū)間[-1，0]為減函數(shù)，在區(qū)間[0，m]為增函數(shù)，且f（-1）＞f（m），f(-1)=1，f(0)=2(0-1)=

1

2

∴f（x）取值的集合為[

1

2

，1]
當1≤m時，x∈[-1，m]，f（x）在區(qū)間[-1，0]為減函數(shù)，在區(qū)間[0，m]為增函數(shù)，且f（-1）≤f（m），f(0)=2(0-1)=

1

2

，f(m)=2(m-1)
∴f（x）取值的集合為[

1

2

，2(m-1)]
綜上：當-1＜m＜0時，f（x）取值的集合為[2^-m-1，1]；當0≤m＜1時，f（x）取值的集合為[

1

2

，1]；當1≤m時，f（x）取值的集合為[

1

2

，2(m-1)]；
（3）當x∈[a，b]時，函數(shù)的值域為[

1

2

，2]，由f（x）的單調(diào)性和對稱性知，f（x）的最小值為

1

2

，
∴0∈[a，b]，
∵f（-2）=f（2）=2，
∴當a=-2時，0≤b≤2，當b=2時，-2≤a≤0．

點評：本題考查函數(shù)的單調(diào)性與對稱性，考查函數(shù)解析式的確定，考查函數(shù)的值域，屬于中檔題．