Question

【題目】在直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn)的方程為，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為.

（1）求曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程；

（2）已知點(diǎn)，直線(xiàn)與軸正半軸交于點(diǎn)，與曲線(xiàn)交于，兩點(diǎn)，且，，成等比數(shù)列，求直線(xiàn)的極坐標(biāo)方程.

Answer 1

【答案】（1）（2）或

【解析】

（1）利用余弦的二倍角公式，結(jié)合極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)化公式進(jìn)行求解即可；

（2）寫(xiě)出直線(xiàn)的參數(shù)方程，求出的表達(dá)式，將直線(xiàn)的參數(shù)方程代入曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程中，利用參數(shù)的意義，結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.

（1）方程可化為，

將代入上式，得曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程.

（2）由直線(xiàn)的方程為，知直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，

記直線(xiàn)的傾斜角為，，

設(shè)直線(xiàn)的參數(shù)方程為（為參數(shù)），

令，得點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)值為，即，

把代入，得，

整理，得，

則有.

設(shè)，對(duì)應(yīng)的參數(shù)值分別為，，

則，，

因?yàn)?/span>，，成等比數(shù)列，則，

所以，

所以或，

解得或，

的普通方程為或，

故的極坐標(biāo)方程為或.