Question

（本小題滿分12分）已知函數(shù)y=f(x)在定義域（—1+∞）內(nèi)滿足f(o)=0，且f^／(x)= ，(f^／(x))是f(x)的導(dǎo)數(shù)）
（Ⅰ）求f(x)的表達(dá)式.
（Ⅱ）當(dāng)a=1時(shí)，討論f(x)的單調(diào)性
（Ⅲ）設(shè)h(x)=（e^x—P）²＋（x－P）²，證明：h(x)≥

Answer 1

（Ⅰ）f(x)＝ln(1+x)—ax.
（Ⅱ）f(x)在（－1，0）上單調(diào)增，在（0，＋∞）上單調(diào)減；
（Ⅲ）h(x)＝（e^x－P）²＋（P－x）²≥。

本試題主要是考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用。
（1）利用函數(shù)y=f(x)在定義域（—1+∞）內(nèi)滿足f(o)=0，且f^／(x)= ,可以得到函數(shù)的解析式。
（2）根據(jù)a=1，分析f(x)= ln(1+x)—x.  (x＞－1)
，求解導(dǎo)數(shù)，然后令導(dǎo)數(shù)大于零或者小于零得到單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而得結(jié)論。
（3）根據(jù)由（Ⅱ）知f(x)≤f(0)＝0在（－1，＋∞）內(nèi)恒成立
∴l(xiāng)n (1＋x) ≤x
∴e^x≥1＋x  e^x－x≥1   ∴（e^x－x）²≥1，從而證明不等式。
（Ⅰ）由f^／(x)＝.可得f(x)=ln(1+x)—ax+b，b為實(shí)常數(shù).又f(0)＝0b＝0.
f(x)＝ln(1+x)—ax.
（Ⅱ）當(dāng)a=1時(shí)，f(x)= ln(1+x)—x.  (x＞－1)
f^／(x)＝　　　∵x＞－1
由f^／(x)＝0x＝0 ∴當(dāng)x∈（－1，0]時(shí)f^／(x)≥0，此時(shí)f(x)遞增
當(dāng)x∈（0，＋∞）時(shí)，f^／(x)＜０，此時(shí)f(x)遞減
即f(x)在（－1，0）上單調(diào)增，在（0，＋∞）上單調(diào)減…………………………8分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知f(x)≤f(0)＝0在（－1，＋∞）內(nèi)恒成立
∴l(xiāng)n (1＋x) ≤x
∴e^x≥1＋x  e^x－x≥1   ∴（e^x－x）²≥1
∴≤≤（e^x－P）²＋（P－x）²
即h(x)＝（e^x－P）²＋（P－x）²≥…………………………12分