Question

13．已知橢圓${C_1}：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，直線$l：y=x+2\sqrt{2}$與以原點(diǎn)為圓心、以橢圓C₁的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓相切．
（Ⅰ）求橢圓C₁的方程；
（Ⅱ）若AC、BD為橢圓C₁的兩條相互垂直的弦，垂足為右焦點(diǎn)F₂，求四邊形ABCD的面積的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)a²=2b²以及e的值，求出a，b的值，從而求出橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)出直線AC的方程，聯(lián)立橢圓的方程求出|AC|，|BD|的表達(dá)式，結(jié)合不等式的性質(zhì)求出四邊形ABCD的面積的最小值即可．

解答 解：（Ⅰ）∵$e=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，∴${e^2}=\frac{c^2}{a^2}=\frac{{{a^2}-{b^2}}}{a^2}=\frac{1}{2}$，∴a²=2b²，
∵直線l：x-y+2=0與圓x²+y²=b²相切∴$\frac{{2\sqrt{2}}}{{\sqrt{2}}}=b$，
∴b=2，b²=4，∴a²=8，
∴橢圓C₁的方程是$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1$．…（4分）
（Ⅱ）當(dāng)直線AC的斜率存在且不為零時(shí)，
設(shè)直線AC的斜率為k，A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
則直線AC的方程為y=k（x-2）．
聯(lián)立$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1及y=k（x-2）得（1+2{k^2}）{x^2}-8{k^2}x+8{k^2}-8=0$．
所以${x_1}+{x_2}=\frac{{8{k^2}}}{{1+2{k^2}}}，{x_1}{x_2}=\frac{{8{k^2}-8}}{{1+2{k^2}}}$，
$|AC|=\sqrt{（1+{k^2}）{{（{x_1}-{x_2}）}^2}}=\sqrt{（1+{k^2}）[{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-4{x_1}{x_2}]}=\frac{{\sqrt{32}（{k^2}+1）}}{{1+2{k^2}}}$…．（7分）
由于直線BD的斜率為$-\frac{1}{k}，用-\frac{1}{k}$代換上式中的k可得$|BD|=\frac{{\sqrt{32}（1+{k^2}）}}{{{k^2}+2}}$
因?yàn)锳C⊥BD，所以四邊形ABCD的面積為$S=\frac{1}{2}|AC|•|BD|=\frac{{16{{（1+{k^2}）}^2}}}{{（{k^2}+2）（1+2{k^2}）}}$…..（10分）
由$（1+2{k^2}）（{k^2}+2）≤{[\frac{{（1+2{k^2}）+（{k^2}+2）}}{2}]^2}={[\frac{{3（{k^2}+1）}}{2}]^2}$
所以$S≥\frac{64}{9}，當(dāng)1+2{k^2}={k^2}+2時(shí)，即k=±1$時(shí)取等號(hào)．…（11分）
易知，當(dāng)直線AC的斜率不存在或斜率為零時(shí)，四邊形ABCD的面積S=8
綜上可得，四邊形ABCD面積的最小值為$\frac{64}{9}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了求橢圓方程問(wèn)題，考查橢圓的性質(zhì)，直線和橢圓的位置關(guān)系以及不等式的性質(zhì)，是一道綜合題．