Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，，是軸上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩定點(diǎn)，點(diǎn)滿足，點(diǎn)的軌跡為曲線．

（1）求的方程；

（2）過的直線與交于點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，的中垂線分別與軸、軸交于點(diǎn)，問是否成立？若成立，求出直線的方程；若不成立，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）不成立，理由詳見解析.

【解析】

（1）根據(jù)橢圓的定義，可以判斷出點(diǎn)的軌跡是焦點(diǎn)為、，長軸長為4的橢圓，確定出，進(jìn)而求得，得到橢圓的方程；

（2）該題可以從三個(gè)角度去分析，一是設(shè)直線方程為，根據(jù)題意列出等式，無解，從而確定不成立；二是設(shè)直線方程為，根據(jù)三角形全等去分析，推出矛盾，不成立，三是利用點(diǎn)差法確定出直線的斜率，寫出點(diǎn)斜式方程，列式，推出矛盾，從而不成立，得到結(jié)果.

（1）因?yàn)?/span>，

所以點(diǎn)的軌跡是焦點(diǎn)為、，長軸長為4的橢圓，

設(shè)橢圓方程為，

所以，所以，

所以的方程為．

（2）解法一：

直線的斜率必存在且不為0，設(shè)方程為，

由消去整理得

，

，

設(shè)，則，

故點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，所以，

設(shè)，因?yàn)?/span>，所以，

解得，所以，

要使，只需，

即，

整理得，因?yàn)?/span>，所以此方程無實(shí)根，

所以不成立．

解法二：

直線的斜率必存在且不為0，設(shè)方程為，

由消去整理得，

，

設(shè)，則，

故點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，

所以，

因?yàn)橹本�的斜率為，

所以直線的方程為，

即．

令，則，

所以點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，即，

所以，

因?yàn)?/span>，所以，

要使得，則必須，

因?yàn)樯鲜讲怀闪�，所�?/span>不成立．

解法三：

設(shè)，因?yàn)?/span>在曲線上，且

所以兩式相減并整理得，

所以直線的斜率為，

所以的方程為，

令，得，所以點(diǎn)的縱坐標(biāo)，

所以，

又因?yàn)?/span>，所以，

要使得，則必須，

因?yàn)樯鲜讲怀闪�，所�?/span>不成立．