Question

如圖：⊙O方程為x²+y²=4，點P在圓上，點D在x軸上，點M在DP延長線上，⊙O交y軸于點N，∥．且．
（I）求點M的軌跡C的方程；
（II）設(shè)F₁（0，）、F₂（0，-），若過F₁的直線交（I）中曲線C于A、B兩點，求的取值范圍．

Answer 1

解：（I）設(shè)P（x₀，y₀），M（x，y），
∵，∴，∴…（3分）
∵⊙O方程為x²+y²=4，點P在圓上，
∴x₀²+y₀²=4
∴
∴點M的軌跡C的方程為 …（5分）
（II）①當直線AB的斜率不存在時，顯然=-4； …（6分）
②當直線AB的斜率存在時，不妨設(shè)AB的方程為：y=kx+與橢圓方程聯(lián)立，消去y可得（9+4k²）x²+8kx-16=0
不妨設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=，x₁x₂=
∴=（1+k²）x₁x₂+2k（x₁+x₂）+20=（1+k²）×+2k×+20=-4+ …（10分）
∵9+4k²≥9，∴
∴
∴ …（11分）
綜上所述，的范圍是 …（12分）
分析：（I）利用，確定P，M坐標之間的關(guān)系，利用⊙O方程為x²+y²=4，點P在圓上，即可求得點M的軌跡C的方程；
（II）①當直線AB的斜率不存在時，顯然=-4；②當直線AB的斜率存在時，設(shè)AB的方程代入橢圓方程，利用韋達定理及向量知識，即可得到結(jié)論．
點評：本題考查代入法求軌跡方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查向量知識的運用，解題的關(guān)鍵是聯(lián)立方程，利用韋達定理進行求解．