Question

1．已知函數(shù)$f（x）=\frac{lnx}{x+1}-\frac{{2{f^'}（1）}}{x}$．
（1）求函數(shù)f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（2）當(dāng)x＞0且x≠1時，$f（x）＞\frac{lnx}{x-1}+（{a^2}-a-2）$，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算f（1），f′（1），求出切線方程即可；
（2）$f（x）-\frac{lnx}{x-1}=\frac{1}{{1-{x^2}}}（2lnx+\frac{{1-{x^2}}}{x}）$，令$g（x）=2lnx+\frac{{1-{x^2}}}{x}$，設(shè)$h（x）=f（x）-\frac{lnx}{x-1}=\frac{2lnx}{{1-{x^2}}}+\frac{1}{x}$有最小值b（b＞0），即$\frac{2lnx}{{1-{x^2}}}+\frac{1}{x}-b≥0$，從而求出a的范圍即可．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）…（1分）
因?yàn)?f'（x）=\frac{{\frac{x+1}{x}-lnx}}{{{{（x+1）}^2}}}+\frac{2f'（1）}{x^2}$，…（2分）
所以$f'（1）=\frac{1}{2}+2f'（1）$，即$f'（1）=-\frac{1}{2}$，
所以$f（x）=\frac{lnx}{x+1}+\frac{1}{x}$，$f'（x）=\frac{{\frac{x+1}{x}-lnx}}{{{{（x+1）}^2}}}-\frac{1}{x^2}$，…（4分）
令x=1，得f（1）=1，所以函數(shù)f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為：
$y-1=-\frac{1}{2}（x-1）$，即x+2y-3=0．…（5分）
（2）因?yàn)?f（x）-\frac{lnx}{x-1}=\frac{1}{{1-{x^2}}}（2lnx+\frac{{1-{x^2}}}{x}）$，…（6分）
令$g（x）=2lnx+\frac{{1-{x^2}}}{x}$，則$g'（x）=\frac{{-{x^2}+2x-1}}{x^2}=-\frac{{{{（x-1）}^2}}}{x^2}$，
因?yàn)閤≠1，所以g'（x）＜0，所以g（x）在（0，1），（1，+∞）上為減函數(shù)，…（8分）
又因?yàn)間（1）=0，所以，當(dāng)x＞1時，g（x）＜g（1）=0，此時，$\frac{1}{{1-{x^2}}}•g（x）＞0$；
當(dāng)0＜x＜1時，g（x）＞g（1）=0，此時，$\frac{1}{{1-{x^2}}}•g（x）＞0$，…（10分）
假設(shè)$h（x）=f（x）-\frac{lnx}{x-1}=\frac{2lnx}{{1-{x^2}}}+\frac{1}{x}$有最小值b（b＞0），則h（x）-b≥0，
即$\frac{2lnx}{{1-{x^2}}}+\frac{1}{x}-b≥0$．若b＞1，當(dāng)$x∈（\frac{1}，1）$時，h（x）-b＜0；
若0＜b≤1，當(dāng)$x∈（\frac{1}，+∞）$時，h（x）-b＜0，所以，不存在正數(shù)b，使h（x）≥b．
所以，當(dāng)x＞0，且x≠1時，$f（x）-\frac{lnx}{x-1}＞0$，所以，a²-a-2≤0，
解得：-1≤a≤2．…（12分）

點(diǎn)評 本題考查了切線方程問題，考查函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．