Question

10．第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)是以我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖為基礎(chǔ)進(jìn)行設(shè)計(jì)的．如下圖會(huì)標(biāo)是由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，如果小正方形的面積為1，大正方形的面積為25，直角三角形中較大的銳角為θ，那么$sin（{θ+\frac{π}{3}}）$=$\frac{{4+3\sqrt{3}}}{10}$．

Answer 1

分析 設(shè)直角三角形的邊長(zhǎng)為a，a+1，a²+（a+1）²=25，a＞0．解出利用倍角公式即可得出．

解答 解：設(shè)直角三角形的邊長(zhǎng)為a，a+1，
則a²+（a+1）²=25，a＞0．
解得a=3．
∴sinθ=$\frac{3}{5}$，cosθ=$\frac{4}{5}$．
∴$sin（{θ+\frac{π}{3}}）$=$\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{3}{5}+\frac{1}{2}×\frac{4}{5}$=$\frac{{4+3\sqrt{3}}}{10}$．
故答案為$\frac{{4+3\sqrt{3}}}{10}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了勾股定理、倍角公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．