分析 (1)由拋物線的定義知:P到直線${l_2}:x=-\frac{p}{2}$的距離等等于P到焦點(diǎn)的距離,則P距離之和的最小值為點(diǎn)F到直線l1的距離,利用點(diǎn)到直線的距離公式,即可求得p的值,求得拋物線C的方程;
(2)可設(shè)直線AB:x=-ky+m.代入拋物線方程,由韋達(dá)定理及中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知:$m=-\frac{{2{k^3}+2k+3}}{k}$.又AB與拋物線有兩個(gè)不同的交點(diǎn),故△=16k2+16m>0.代入即可求得k的取值范圍.
解答 解:(1)拋物線C:y2=2px(p>0)焦點(diǎn)在x軸上,焦點(diǎn)F($\frac{p}{2}$,0),
由拋物線的定義知:P到直線${l_2}:x=-\frac{p}{2}$的距離等等于P到焦點(diǎn)的距離,
∴P到兩直線的距離之和的最小值為點(diǎn)F到直線l1的距離,
由點(diǎn)到直線的距離公式可知:$\frac{丨2p+6丨}{\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}}$=2,解得:p=2,
∴拋物線的方程為y2=4x.
(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中點(diǎn)為M(x0,y0),關(guān)于直線y=kx+3對(duì)稱,
故可設(shè)直線AB:x=-ky+m.
$\left\{\begin{array}{l}{x=-ky+m}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$,整理得:y2+4ky-4m=0.
由韋達(dá)定理可知:y1+y2=-4m,則${y_0}=\frac{{{y_1}+{y_2}}}{2}=-2k$,
∴${x_0}=-k{y_0}+m=2{k^2}+m$.
∵點(diǎn)M(x0,y0)在y=kx+3上,則-2k=k(2k2+m)+3.即$m=-\frac{{2{k^3}+2k+3}}{k}$.
又AB與拋物線有兩個(gè)不同的交點(diǎn),故△=16k2+16m>0.
將m代入上式得:$\frac{{k}^{3}+2k+3}{k}$,即k(k+1)(k2-k+3)<0,
k2-k+3>0恒成立,
∴解得:-1<k<0,
由故k的取值范圍為(-1,0).
點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程,直線與拋物線的位置關(guān)系,考查韋達(dá)定理,中點(diǎn)坐標(biāo)公式及判別式的應(yīng)用,考查計(jì)算能力,屬于中檔題.
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回族 | 18 | x |
彝族 | 36 | 2 |
白族 | 54 | y |
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A. | 2 | B. | $\frac{5}{2}$ | C. | $\sqrt{5}$ | D. | $\sqrt{6}$ |
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