如圖，已知圓C1的方程為(x-2)2+(y-1)2=
20
3
，橢圓C2的方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），C2的離心率為
2
2
，如果C1與C2相交于A、B兩點，且線段AB恰為圓C1的直徑，求直線AB的方程和橢圓C2的方程．
由e=
2
2
得
c
a
=
2
2
，
∴a2=2c2，b2=c2，
設(shè)橢圓方程為：
x2
2b2
+
y2
b2
=1（2分）
令A(yù)（x1，y1），B（x2，y2），
由已知得圓心C1（2，1）為AB中點，
∴x1+x2=4，y1+y2=2，
又A，B均在橢圓C2上，
∴
x12
2b2
+
y12
b2
=1，
x22
2b2
+
y22
b2
=1，
兩式相減得：
(x1+x2)(x1-x2)
2b2
+
(y1+y2)(y1-y2)
b2
=0
即
4(x1-x2)
2b2
+
2(y1-y2)
b2
=0
∴kAB=
y1-y2
x1-x2
=-1，
即直線AB的方程為y-1=-（x-2）即x+y-3=0（6分）
將y=-x+3代入
x2
2b2
+
y2
b2
=1得3x2-12x+18-2b2=0（9分）
∴x1+x2=4，x1x2=
18-2b2
3
由直線AB與橢圓C2相交，
∴△=122-12（18-2b2）=24b2-72＞0即b2＞3，
又|AB|=
2
|x1-x2|=
2
(x1+x2)2-4x1x2
=2•
20
3
（11分）
即16-4•
18-2b2
3
=
40
3
解得b2=8，故所求的橢圓方程為
x2
16
+
y2
8
=1（13分）
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

以橢圓
x2
16
+
y2
4
=1內(nèi)的點M（1，1）為中點的弦所在直線方程為______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)與拋物線C2：x2=2py（p＞0）的一個交點為M．拋物線C2在點M處的切線過橢圓C1的右焦點F．
（1）若M(2，
2
5
5
)，求C1和C2的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（II）若b=1，求p關(guān)于a的函數(shù)表達式p=f（a）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知點D（0，-2），過點D作拋物線C1：x2=2py（p＞0）的切線l，切點A在第二象限，如圖
（Ⅰ）求切點A的縱坐標(biāo)；
（Ⅱ）若離心率為
3
2
的橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)恰好經(jīng)過切點A，設(shè)切線l交橢圓的另一點為B，記切線l，OA，OB的斜率分別為k，k1，k2，若k1+2k2=4k，求橢圓方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

設(shè)點P在曲線y=x2上，從原點向A（2，4）移動，如果直線OP，曲線y=x2及直線x=2所圍成的面積分別記為S1、S2．
（Ⅰ）當(dāng)S1=S2時，求點P的坐標(biāo)；
（Ⅱ）當(dāng)S1+S2有最小值時，求點P的坐標(biāo)和最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

已知直線y=a交拋物線y=x2于A，B兩點，若該拋物線上存在點C，使得∠ACB為直角，則a的取值范圍為______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

雙曲線x2-y2=a2截直線4x+5y=0的弦長為
41
，則此雙曲線的實軸長為（　�。�
A．3B．
3
2
C．
12
5
D．
6
5

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

橢圓C的中心在原點O，焦點在x軸，它的短軸長為2，過焦點與x軸垂直的直線與橢圓C相交于A，B兩點且|AB|=1．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過定點N（1，0）的直線l交橢圓C于C、D兩點，交y軸于點P，若
PC
=λ1
CN
，
PD
=λ2
DN
，求證：λ1+λ2為定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

設(shè)雙曲線C的中心在原點，焦點在x軸上，離心率為2，其一個頂點的坐標(biāo)是(
1
3
，0)；又直線l：y=kx+1與雙曲線C相交于不同的A、B兩點．
（Ⅰ）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）是否存在實數(shù)k，使得以線段AB為直徑的圓過坐標(biāo)的原點？若存在，求出k的值；若不存在，寫出理由．

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同步練習(xí)冊答案