【題目】已知拋物線,點為直線上任一點,過點作拋物線的兩條切線,切點分別為,

1)證明,,三點的縱坐標成等差數(shù)列;

2)已知當點坐標為時,,求此時拋物線的方程;

3)是否存在點,使得點關(guān)于直線的對稱點在拋物線上,其中點滿足,若存在,求點的坐標;若不存在,說明理由.

【答案】(1)證明見解析;(2) ;(3) 存在一點滿足題意.

【解析】

(1)設(shè),求導(dǎo),則可求出在,處的切線方程,再聯(lián)立切線方程分析即可.
(2)根據(jù)(1)中的切線方程,代入則可得到直線的方程,再聯(lián)立拋物線求弦長列式求解即可.

(3)分情況,的縱坐標兩種情況,求出點的坐標表達式,再利用垂直進行求解分析是否存在即可.

(1) 設(shè),求導(dǎo)有,故在處的切線方程為,,,

同理在處的切線方程為,

聯(lián)立切線方程有,化簡得,

的縱坐標為,因為,故,,三點的縱坐標成等差數(shù)列.
(2)(1)有在處的切線方程為,因為,

所以,,又切線過,,同理,均滿足直線方程,

故直線 ,聯(lián)立 ,

,

,解得,故拋物線.

(3)設(shè),由題意得,中點,

又直線斜率,故設(shè) .

的中點在直線,中點也在直線,

代入得.在拋物線上,.

所以.即點

(1),,此時點滿足

(2) ,,此時,.

.,所以,不成立,

,因為,此時直線平行于,又因為,

故直線與直線不垂直,與題設(shè)矛盾,,不存在符合題意的.

綜上所述,僅存在一點滿足題意.

練習冊系列答案
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