【題目】如圖,三棱柱中, 平面, 分別為的中點(diǎn), 是邊長(zhǎng)為2 的正三角形, .

(1)證明: 平面

(2)求二面角的余弦值.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2) .

【解析】試題分析:(1)取AB的中點(diǎn)H,連接HM,CH,證明四邊形CDMH是平行四邊形得出DMCH,從而有DM平面ABC;

(2)取BB1中點(diǎn)E,以E為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系,求出兩半平面的法向量,計(jì)算法向量的夾角即可得出二面角的大。

試題解析:(1)證明:取的中點(diǎn),連接,

分別為的中點(diǎn),

, , ,

則四邊形是平行四邊形,則.

平面, 平面,平面;

(2)取中點(diǎn),為等邊三角形, ∴.

平面 ,平面,

建立以為坐標(biāo)原點(diǎn), 分別為軸的空間直角坐標(biāo)系如圖:

,

則設(shè)平面的法向量為, , ,

,即

,則,即,

平面的法向量為,

,得,即,

,則,即,

,

即二面角的余弦值是.

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(2)若斜率為的直線與圓相切,與(1)中所求點(diǎn)的軌跡教育不同的兩點(diǎn) 是坐標(biāo)原點(diǎn),且時(shí),求的取值范圍.

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=x , ,記y=f(x).

(1)求函數(shù)y=f(x)的表達(dá)式;
(2)設(shè)g(x)=x3+3a2x+2a,x∈[0,1].若對(duì)任意x1∈[ ,1],總存在x2∈[0,1],使得f(x1)=g(x2)成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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(2)設(shè)曲線上一點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,過(guò)的直線交于另一點(diǎn),交軸于點(diǎn),過(guò)點(diǎn)的垂線交于另一點(diǎn).若的切線,求的最小值.

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分組

頻數(shù)

頻率

[40,50)

2

0.04

[50,60)

3

0.06

[60,70)

14

0.28

[70,80)

15

[80,90)

0.24

[90,100]

4

0.08

合計(jì)


(1)請(qǐng)把給出的樣本頻率分布表中的空格都填上;
(2)為了幫助成績(jī)差的學(xué)生提高數(shù)學(xué)成績(jī),學(xué)校決定成立“二幫一”小組,即從成績(jī)[90,100]中選兩位同學(xué),共同幫助[40,50)中的某一位同學(xué),已知甲同學(xué)的成績(jī)?yōu)?2分,乙同學(xué)的成績(jī)?yōu)?5分,求甲、乙兩同學(xué)恰好被安排在同一小組的概率.

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