Question

【題目】圓周上有1994個(gè)點(diǎn)，將它們?nèi)境扇舾煞N不同的顏色，且每種顏色的點(diǎn)數(shù)各不相同.今在每種顏色的點(diǎn)集中各取一個(gè)點(diǎn)，組成頂點(diǎn)顏色各不相同的圓內(nèi)接多邊形，為了要使這樣的多邊形個(gè)數(shù)最多，應(yīng)將1994個(gè)點(diǎn)染成多少種不同的顏色？且每種顏色的點(diǎn)集各含有多少個(gè)點(diǎn)？

Answer 1

【答案】染成61種顏色, 各種顏色的點(diǎn)數(shù)依次為2，3，…，19，20，22，23，…，61，62，63，

【解析】

設(shè)1994個(gè)點(diǎn)可染成種顏色，且各種顏色的點(diǎn)數(shù)依小到大為，且滿足，則可組成頂點(diǎn)顏色各不相同的多邊形個(gè)數(shù)為.

（一）要使的值最大，則必須滿足：

1. .事實(shí)上，若，因，與的值最大相矛盾.

2. 的個(gè)值中，僅有一個(gè)等于2，其余個(gè)值都等于1.為此，

（1）.事實(shí)上，若不然則必存在某一正整數(shù)使.取，，，.

而 .

故當(dāng)以，分別換，時(shí)，值增大，矛盾.

（2）恰有一個(gè).為此

（i）至多有一個(gè).若不然，則存在正整數(shù)，.，有，同時(shí)成立.取，，有，且.易證.以，換，時(shí)，的值增大，矛盾.

（ii）若，有 .由于與為一奇一偶且，997為素?cái)?shù)，所以只有，，得，即說明以2和495換時(shí)值增大.矛盾.所以，至少有一個(gè)成立.由（i），（ii）立得所證.

3. .由2知恰有一個(gè)，然而只能等于1不能等于2.若不然，則有.則.所以，.由于1993為素?cái)?shù)，易求得.此與最大顯然矛盾.設(shè)有某一數(shù)使得，則.若，取，則，，且.，.故.以2和換，值增大，矛盾.故.

（二）由（一）知可設(shè)各種顏色的點(diǎn)數(shù)依次為2，3，…，，，，…，，，（）.

有.

得.

解得.

取，有.故可將1994個(gè)點(diǎn)染成61種顏色，各種顏色的點(diǎn)數(shù)依次為2，3，…，19，20，22，23，…，61，62，63，此時(shí)所得多邊形為61邊形，其個(gè)數(shù)為最多.