Question

在某校舉行的數(shù)學(xué)競賽中，全體參賽學(xué)生的競賽成績近似服從正態(tài)分布N(70,100).已知成績在90分以上（含90分）的學(xué)生有12名.

（1）試問此次參賽的學(xué)生總數(shù)約為多少人？

（2）若該校計劃獎勵競賽成績排在前50名的學(xué)生，試問設(shè)獎的分數(shù)線約為多少分？

可供查閱的（部分）標準正態(tài)分布表φ(x₀)=p(x＜x₀)

x0	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1.2	0.8849	0.8869	0.8888	0.8907	0.8925	0.8944	0.8962	0.8980	0.8997	0.9915
1.3	0.9032	0.9049	0.9066	0.9082	0.9099	0.9115	0.9131	0.9147	0.9162	0.9177
1.4	0.9192	0.9207	0.9222	0.9236	0.9251	0.9265	0.9278	0.9292	0.9306	0.9316
1.9	0.9713	0.9719	0.9726	0.9732	0.9738	0.9744	0.9750	0.9756	0.9762	0.9767
2.0	0.9772	0.9778	0.9783	0.9788	0.9793	0.9798	0.9803	0.9808	0.9812	0.9817
2.1	0.9821	0.9826	0.9380	0.9834	0.9838	0.9842	0.9846	0.9850	0.9854	0.9857

Answer 1

思路解析：本小題主要考查正態(tài)分布，對獨立事件的概念和標準正態(tài)分布的查閱，考查運用概率統(tǒng)計知識解決實際問題的能力.

解：（1）設(shè)參賽學(xué)生的分數(shù)為ξ，因為ξ～N(70,100),由條件知，

P(ξ≥90)=1-P（ξ＜90）=1-F(90)=1-φ()=1-φ(2)=1-0.977 2=0.228.

這說明成績在90分以上（含90分）的學(xué)生人數(shù)約占全體參賽人數(shù)的2.28％，因此，參賽總?cè)藬?shù)約為≈526（人）.

（2）假定設(shè)獎的分數(shù)線為x分，則

P(ξ≥x)=1-P（ξ＜x）=1-F(x)=1-φ(x-)==0.095 1，

即φ()=0.904 9，查表得≈1.31，解得x=83.1.

故設(shè)獎得分數(shù)線約為83.1分.