Question

3．某石材加工廠可以把甲、乙兩種類型的大理石板加工成A，B，C三種規(guī)格的小石板，每種類型的大理石板可以同時加工成三種規(guī)格小石板的塊數(shù)如表所示：

板材類型	A	B	C
甲型石板（塊）	1	2	4
乙型石板（塊）	2	1	5

某客戶至少需要訂購A，B兩種規(guī)格的石板分別為20塊和22塊，至多需要C規(guī)格的石板100塊，分別用x，y表示甲、乙兩種類型的石板數(shù)．
（1）用x，y列出滿足客戶要求的數(shù)學(xué)關(guān)系式，并畫出相應(yīng)的平面區(qū)域；
（2）加工廠為滿足客戶的需求，需要加工甲、乙兩種類型的石板各多少塊，才能使所用石板總數(shù)最少？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)某客戶至少需要訂購A，B兩種規(guī)格的石板分別為20塊和22塊，至多需要C規(guī)格的石板100塊，分別用x，y表示甲、乙兩種類型的石板數(shù)，可用x，y列出滿足客戶要求的數(shù)學(xué)關(guān)系式，并畫出相應(yīng)的平面區(qū)域；
（2）設(shè)需要加工甲、乙兩種類型的板材數(shù)為z，則目標(biāo)函數(shù)z=x+y，利用作出可行域，得到最優(yōu)解，把最優(yōu)解的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)得答案．

解答 解：（ I）由題意得$\left\{\begin{array}{l}x+2y-20≥0\\ 2x+y-22≥0\\ 4x+5y-100≤0\\ x≥0，y≥0.\end{array}\right.$…（3分）
二元一次不等式組所表示的區(qū)域為圖中的陰影部分．
     …（6分）
（Ⅱ）設(shè)需要加工甲、乙兩種類型的板材數(shù)為z，則目標(biāo)函數(shù)z=x+y，作出直線l₀：x+y=0，平移直線l₀，如圖，易知直線經(jīng)過點A時，z取到最小值，

解方程組$\left\{\begin{array}{l}x+2y=20\\ 2x+y=22\end{array}\right.$得點A的坐標(biāo)為A（8，6），…（10分）
所以最少需要加工甲、乙兩種類型的板材分別8塊和6塊．
答：加工廠為滿足客戶需求，最少需要加工甲、乙兩種類型的板材分別8塊和6塊．…（13分）

點評 本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查了簡單的數(shù)學(xué)建模思想方法，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．