Question

設(shè)正數(shù)數(shù)列{a_n}為一等比數(shù)列，且a₂=4，a₄=16．求：

lim

n→∞

lgan+1+lgan+2+…+lga2n

n

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的極限,等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：計(jì)算題

分析：由題設(shè)條件利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式先求出

lgan+1+lgan+2+…+lga2n

n

=

lg2n+1+lg2n+2+…+lg22n

n2

=

3n2+n

2n2

•lg2，從而得到原式=

lim

n→∞

(

3n2+n

2n2

•lg2) =lg2•

lim

n→∞

3n2+n

2n2

=

3

2

lg2．

解答： 解：設(shè)數(shù)列{a_n}的公比為q，顯然q≠1，

a4

a2

=q2=4，由于a_n＞0，n∈N，
∴q=2，a1=

a2

q

=2，∴a_n=a₁q^n-1=2ⁿ，
因此

lgan+1+lgan+2+…+lga2n

n

=

lg2n+1+lg2n+2+…+lg22n

n2

=

[(n+1)+(n+2)+…+2n]

n2

lg2
=

3n2+n

2n2

•lg2，
原式=

lim

n→∞

(

3n2+n

2n2

•lg2) =lg2•

lim

n→∞

3n2+n

2n2

=

3

2

lg2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的極限和應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意公式的靈活運(yùn)用．