Question

已知、分別為橢圓：的上、下焦點，其中也是拋物線： 的焦點，點是與在第二象限的交點，且。

（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）已知點（1，3）和圓：，過點的動直線與圓相交于不同的兩點，在線段取一點，滿足：，（且）。
求證：點總在某定直線上。

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）設(shè)由可得由可得⑤×⑦得：，⑥×⑧得：，兩式相加得又點A，B在圓上，且，
所以，即，所以點Q總在定直線上

試題分析：（1）由：知（0，1），設(shè) ，因M在拋物線上，故
 ①      又，則 ②，
由①②解得                  （3分）
橢圓的兩個焦點（0，1），，點M在橢圓上，有橢圓定義可得
 
∴又，∴，橢圓的方程為：    （6分）
（2）設(shè)，
由可得：，
即 （9分）
由可得：，
即
⑤×⑦得：
⑥×⑧得：                           （10分）
兩式相加得         （11分）
又點A，B在圓上，且，
所以，
即，所以點Q總在定直線上              （12分）
點評：解題時充分利用拋物線的定義：拋物線上的點到焦點的距離等于到準(zhǔn)線的距離，能使解題過程簡化；第二問中的向量關(guān)系常轉(zhuǎn)化為點的坐標(biāo)關(guān)系，證明點在定直線上的主要思路是驗證點的坐標(biāo)始終滿足于某直線方程