Question

已知點(diǎn)P（a，0），對(duì)于拋物線y²=2x上任一點(diǎn)Q，都有|PQ|≥|a|，則實(shí)數(shù)a的取值范圍

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)Q（x，y），由P（a，0），利用兩點(diǎn)間的距離公式能求出|PQ|²=（x+1-a）²+（2a-1），（x≥0），再由二次函數(shù)的性質(zhì)能求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：設(shè)Q（x，y），
∵P（a，0），
∴|PQ|²=（x-a）²+y²
=（x-a）²+2x
=x²+2（1-a）x+a²
=（x+1-a）²+（2a-1），（x≥0）
這是個(gè)二次函數(shù)，對(duì)稱軸x=a-1，
若a-1≥0，a≥1，則當(dāng)x=a-1時(shí)，|QP|_min=

2a-1

．
若a-1＜0，a＜1，則當(dāng)x=0時(shí)，|QP|_min=|a|．
∴當(dāng)a＜1時(shí)，有|PQ|≥|a|．
由

2a-1

≥|a|，解得：a=1．
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，1]．
故答案為：（-∞，1]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查滿足條件的實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時(shí)要注意兩點(diǎn)間距離公式和二次函數(shù)性質(zhì)的靈活運(yùn)用．