如果存在常數(shù)a使得數(shù)列{an}滿足:若x是數(shù)列{an}中的一項(xiàng),則a-x也是數(shù)列{an}中的一項(xiàng),稱數(shù)列{an}為“兌換數(shù)列”,常數(shù)a是它的“兌換系數(shù)”.
(1)若數(shù)列:1,2,4,m(m>4)是“兌換系數(shù)”為a的“兌換數(shù)列”,求m和a的值;
(2)若有窮遞增數(shù)列{bn}是“兌換系數(shù)”為a的“兌換數(shù)列”,求證:數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和;
(3)已知有窮等差數(shù)列{cn}的項(xiàng)數(shù)是n(n≥3),所有項(xiàng)之和是B,試判斷數(shù)列{cn}是否是“兌換數(shù)列”?如果是的,給予證明,并用n和B表示它的“兌換系數(shù)”;如果不是,說(shuō)明理由.
【答案】分析:(1)根據(jù)數(shù)列:1,2,4,m(m>4)是“兌換系數(shù)”為a的“兌換數(shù)列”,可得a-m,a-4,a-2,a-1也是該數(shù)列的項(xiàng),且a-m<a-4<a-2<a-1,由此可求m和a的值;
(2)不妨設(shè)有窮數(shù)列{bn}的項(xiàng)數(shù)為n,根據(jù)有窮數(shù)列{bn}是“兌換系數(shù)”為a的“兌換數(shù)列”,可得bi+bn+1-i=a(1≤i≤n),從而可得數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和;
(3)證明對(duì)數(shù)列{cn}中的任意一項(xiàng)ci(1≤i≤n即可.
解答:(1)解:因?yàn)閿?shù)列:1,2,4,m(m>4)是“兌換系數(shù)”為a的“兌換數(shù)列”
所以a-m,a-4,a-2,a-1也是該數(shù)列的項(xiàng),且a-m<a-4<a-2<a-1----------(1分)
故a-m=1,a-4=2-------------------(3分)
即a=6,m=5.-------------------(4分)
(2)證明:不妨設(shè)有窮數(shù)列{bn}的項(xiàng)數(shù)為n
因?yàn)橛懈F數(shù)列{bn}是“兌換系數(shù)”為a的“兌換數(shù)列”,所以a-bn,a-bn-1,…,a-b1也是該數(shù)列的項(xiàng),-----(5分)
又因?yàn)閿?shù)列{bn}是遞增數(shù)列b1<b2<…<bn,且a-bn<a-bn-1<…<a-b1-------------------(6分)
則bi+bn+1-i=a(1≤i≤n)-------------------(8分)
-------------------(10分)
(3)解:數(shù)列{cn}是“兌換數(shù)列”.證明如下:
設(shè)數(shù)列{cn}的公差為d,因?yàn)閿?shù)列{cn}是項(xiàng)數(shù)為n項(xiàng)的有窮等差數(shù)列
,則
即對(duì)數(shù)列{cn}中的任意一項(xiàng)ci(1≤i≤n-------(12分)
同理可得:若,也成立,
由“兌換數(shù)列”的定義可知,數(shù)列{cn}是“兌換數(shù)列”;-------------------(14分)
又因?yàn)閿?shù)列{bn}所有項(xiàng)之和是B,所以,即-------------------(18分)
點(diǎn)評(píng):本題考查新定義,考查學(xué)生的閱讀能力,考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力,屬于中檔題.
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(1)若數(shù)列:1,2,4,m(m>4)是“兌換系數(shù)”為a的“兌換數(shù)列”,求m和a的值;
(2)若有窮遞增數(shù)列{bn}是“兌換系數(shù)”為a的“兌換數(shù)列”,求證:數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn=
n2
•a
;
(3)已知有窮等差數(shù)列{cn}的項(xiàng)數(shù)是n0(n0≥3),所有項(xiàng)之和是B,試判斷數(shù)列{cn}是否是“兌換數(shù)列”?如果是的,給予證明,并用n0和B表示它的“兌換系數(shù)”;如果不是,說(shuō)明理由.

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(1)若數(shù)列:1,2,4,m(m>4)是“兌換系數(shù)”為a的“兌換數(shù)列”,求m和a的值;
(2)已知有窮等差數(shù)列bn的項(xiàng)數(shù)是n0(n0≥3),所有項(xiàng)之和是B,求證:數(shù)列bn是“兌換數(shù)列”,并用n0和B表示它的“兌換系數(shù)”;
(3)對(duì)于一個(gè)不少于3項(xiàng),且各項(xiàng)皆為正整數(shù)的遞增數(shù)列{cn},是否有可能它既是等比數(shù)列,又是“兌換數(shù)列”?給出你的結(jié)論并說(shuō)明理由.

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