（12分）（2011•陜西）設(shè)橢圓C：過點(diǎn)（0，4），離心率為
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）求過點(diǎn)（3，0）且斜率為的直線被C所截線段的中點(diǎn)坐標(biāo)．

（Ⅰ）（Ⅱ）

解析試題分析：（Ⅰ）根據(jù)題意，將（0，4）代入C的方程得b的值，進(jìn)而由橢圓的離心率為，結(jié)合橢圓的性質(zhì)，可得=；解可得a的值，將a、b的值代入方程，可得橢圓的方程．
（Ⅱ）根據(jù)題意，可得直線的方程，設(shè)直線與C的交點(diǎn)為A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立直線與橢圓的方程，化簡可得方程x2﹣3x﹣8=0，解可得x1與x2的值，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得中點(diǎn)的橫坐標(biāo)，將其代入直線方程，可得中點(diǎn)的縱坐標(biāo)，即可得答案．
解：（Ⅰ）根據(jù)題意，橢圓過點(diǎn)（0，4），
將（0，4）代入C的方程得，即b=4
又得=；
即，∴a=5
∴C的方程為
（Ⅱ）過點(diǎn)（3，0）且斜率為的直線方程為，
設(shè)直線與C的交點(diǎn)為A（x1，y1），B（x2，y2），
將直線方程代入C的方程，得，
即x2﹣3x﹣8=0，解得，，
∴AB的中點(diǎn)坐標(biāo)，
，
即中點(diǎn)為．
點(diǎn)評：本題考查橢圓的性質(zhì)以及橢圓與直線相交的有關(guān)性質(zhì)，涉及直線與橢圓問題，一般要聯(lián)立兩者的方程，轉(zhuǎn)化為一元二次方程，由韋達(dá)定理分析解決．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

無論為任何實(shí)數(shù)，直線與雙曲線恒有公共點(diǎn).
（1）求雙曲線的離心率的取值范圍；
（2）若直線過雙曲線的右焦點(diǎn)，與雙曲線交于兩點(diǎn)，并且滿足，求雙曲線的方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知P是圓上任意一點(diǎn)，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（2，0），線段NP的垂直平分線交直線MP于點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)P在圓M上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q的軌跡為C.
（1）求出軌跡C的方程，并討論曲線C的形狀；
（2）當(dāng)時(shí)，在x軸上是否存在一定點(diǎn)E，使得對曲線C的任意一條過E的弦AB，為定值？若存在，求出定點(diǎn)和定值；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

（本小題滿分12分，（1）小問4分，（2）小問8分）已知為橢圓上兩動(dòng)點(diǎn)，分別為其左右焦點(diǎn)，直線過點(diǎn)，且不垂直于軸，的周長為，且橢圓的短軸長為．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）已知點(diǎn)為橢圓的左端點(diǎn)，連接并延長交直線于點(diǎn)．求證：直線過定點(diǎn)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知點(diǎn)是橢圓上任一點(diǎn)，點(diǎn)到直線的距離為，到點(diǎn)的距離為，且．直線與橢圓交于不同兩點(diǎn)、(，都在軸上方) ，且．
（1）求橢圓的方程；
（2）當(dāng)為橢圓與軸正半軸的交點(diǎn)時(shí)，求直線方程；
（3）對于動(dòng)直線，是否存在一個(gè)定點(diǎn)，無論如何變化，直線總經(jīng)過此定點(diǎn)？若存在，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

過拋物線C：上的點(diǎn)M分別向C的準(zhǔn)線和x軸作垂線，兩條垂線及C的準(zhǔn)線和x軸圍成邊長為4的正方形，點(diǎn)M在第一象限.
（1）求拋物線C的方程及點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（2）過點(diǎn)M作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線分別與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，如果點(diǎn)M在直線AB的上方，求面積的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

橢圓:的左頂點(diǎn)為,直線交橢圓于兩點(diǎn)(上下),動(dòng)點(diǎn)和定點(diǎn)都在橢圓上.
(1)求橢圓方程及四邊形的面積.
(2)若四邊形為梯形,求點(diǎn)的坐標(biāo).
(3)若為實(shí)數(shù),,求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，橢圓的長軸長為，點(diǎn)、、為橢圓上的三個(gè)點(diǎn)，為橢圓的右端點(diǎn)，過中心，且，．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)、是橢圓上位于直線同側(cè)的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（異于、），且滿足，試討論直線與直線斜率之間的關(guān)系，并求證直線的斜率為定值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，F(xiàn)是拋物線C：x2＝2py(p>0)的焦點(diǎn)，M是拋物線C上位于第一象限內(nèi)的任意一點(diǎn)，過M，F(xiàn)，O三點(diǎn)的圓的圓心為Q，點(diǎn)Q到拋物線C的準(zhǔn)線的距離為.
(1)求拋物線C的方程；
(2)是否存在點(diǎn)M，使得直線MQ與拋物線C相切于點(diǎn)M？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

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