Question

平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)系原點(diǎn)，給定兩點(diǎn)A（1，0），B（0，2），點(diǎn)C滿足

OC

=α•

OA

+β•

OB

，其中α，β∈R，α-2β=1．
（1）求點(diǎn)C（x，y）的軌跡方程；
（2）設(shè)點(diǎn)C的軌跡與雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a，b＞0）交于兩點(diǎn)M、N，且以MN為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)，求證：

1

a2

-

1

b2

為定值．

Answer 1

分析：（1）利用

OC

=α•

OA

+β•

OB

，確定A，B，C坐標(biāo)之間的關(guān)系，利用α-2β=1可得點(diǎn)C的軌跡方程；
（2）點(diǎn)C（x，y）的軌跡方程與雙曲線聯(lián)立，利用韋達(dá)定理及以MN為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)，即

OM

•

ON

=0，化簡(jiǎn)可得結(jié)論．

解答：解：（1）∵C（x，y），

OC

=α•

OA

+β•

OB

，∴（x，y）=α（1，0）+β（0，-2），
∴

x=α y=-2β

，
∵α-2β=1，∴x+y=1，即點(diǎn)C的軌跡方程為x+y=1．---------（6分）
（2）聯(lián)立方程組

x+y=1 x2 a2 - y2 b2 =1

，消去y，整理得（b²-a²）x²+2a²x-a²-a²b²=0
依題意知b²-a²≠0，設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
∴x₁+x₂=-

2a2

b2-a2

，x₁x₂=-

a2+a2b2

b2-a2

∵以MN為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)，∴

OM

•

ON

=0，即x₁x₂+y₁y₂=0
∴2x₁x₂+1-（x₁+x₂）=0，
∴2×（-

a2+a2b2

b2-a2

）+1-（-

2a2

b2-a2

）=0
化簡(jiǎn)可得

1

a2

-

1

b2

=2為定值---------（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查軌跡方程的求解，考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，屬于中檔題．