Question

3．設(shè)x，y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}{2x+y-6≤0，}&{\;}\\{x-y-1≤0，}&{\;}\\{x-1≥0．}&{\;}\end{array}\right.$若a∈[-2，9]，則z=ax+y僅在點(diǎn)（$\frac{7}{3}$，$\frac{4}{3}$）處取得最大值的概率為（　�。�

• A． $\frac{9}{11}$
• B． $\frac{7}{11}$
• C． $\frac{6}{11}$
• D． $\frac{5}{11}$

Answer 1

分析 畫出約束條件的可行域，求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，利用z=ax+y僅在點(diǎn)（$\frac{7}{3}$，$\frac{4}{3}$）處取得最大值，利用斜率關(guān)系求解a的范圍，然后求解概率．

解答 解：如圖所示，約束條件$\left\{\begin{array}{l}{2x+y-6≤0，}&{\;}\\{x-y-1≤0，}&{\;}\\{x-1≥0．}&{\;}\end{array}\right.$所表示的區(qū)域為圖中陰影部分：其中A（1，0），B（$\frac{7}{3}$，$\frac{4}{3}$），C（1，4），
依題意z=ax+y僅在點(diǎn)B（$\frac{7}{3}$，$\frac{4}{3}$）處取得最大值，可得-a＜-2，即，a＞2．又a∈[-2，9]，則z=ax+y僅在點(diǎn)（$\frac{7}{3}$，$\frac{4}{3}$）處取得最大值的概率為：$\frac{9-2}{9+2}$=$\frac{7}{11}$．
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用z的幾何意義，概率的求法，通過數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．