設(shè)三次函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a＜b＜c)，在x＝1處取得極值，其圖象在x＝m處的切線的斜率為－3a．

(Ⅰ)求證：；

(Ⅱ)若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[s，t]上單調(diào)遞增，求|s－t|的取值范圍；

(Ⅲ)問是否存在實數(shù)k(k是與a，b，c，d無關(guān)的常數(shù))，當x≥k時，恒有恒成立？若存在，試求出k的最小值；若不存在，請說明理由．

答案：
解析：

　　解：(Ⅰ)方法一、．由題設(shè)，得�、�

　　�、�

　　∵，∴，∴．

　　由①代入②得，∴，

　　得∴或�、�

　　將代入中，得�、�

　　由③、④得；

　　方法二、同上可得：

　　將(1)變?yōu)椋?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/1229/0834/fe369544235719b4ff8b7919ccf33252/C/Image3220.gif" width=88 HEIGHT=18>代入(2)可得：，

　　所以，則

　　方法三：同上可得：將(1)變?yōu)椋?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/1229/0834/fe369544235719b4ff8b7919ccf33252/C/Image3223.gif" width=82 height=18>代入(2)

　　可得：，顯然，所以

　　因為圖象的開口向下，且有一根為x1＝1

　　由韋達定理得，

　　，所以，即，則，由得：

　　所以：

　　方法四：由得：且，由此可知

　　(Ⅱ)由(Ⅰ)知，的判別式Δ＝

　　∴方程有兩個不等的實根，

　　又，∴，

　　∴當或時，，當時，，

　　∴函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是，∴，

　　由知．

　　∵函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，∴，∴，

　　即的取值范圍是；

　　(Ⅲ)由，即，

　　∵，

　　，∴，

　　∴或．

　　由題意，得，∴，

　　∴存在實數(shù)滿足條件，即的最小值為．


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科目：高中數(shù)學 來源：內(nèi)蒙古呼倫貝爾市牙克石林業(yè)一中2012屆高三上學期第二次模擬考試數(shù)學文科試題 題型：013

設(shè)三次函數(shù)f(x)的導函數(shù)為(x)，函數(shù)y＝x·(x)的圖象的一部分如圖所示，則

[　　]
A．

f(x)的極大值為f()，極小值為f(－)

B．

f(x)的極大值為f(－)，極小值為f()

C．

f(x)的極大值為f(－3)，極小值為f(3)

D．

f(x)的極大值為f(3)，極小值為f(－3)

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科目：高中數(shù)學 來源：廣東省珠海一中2012屆高三高考模擬數(shù)學文科試題 題型：022

對于三次函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，定義：設(shè)是函數(shù)y＝f(x)的導數(shù)y＝的導數(shù)，若方程＝0有實數(shù)解x0，則稱點(x0，f(x0))為函數(shù)y＝f(x)的“拐點”．有同學發(fā)現(xiàn)“任何一個三次函數(shù)都有‘拐點’；任何一個三次函數(shù)都有對稱中心；且‘拐點’就是對稱中心．”

請你將這一發(fā)現(xiàn)為條件，函數(shù)，則它的對稱中心為________；

計算＝________．

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設(shè)三次函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a＜b＜c)，在x＝1處取得極值，其圖像在x＝m處的切線的斜率為－3a．

(1)求證：；

(2)若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[s，t]上單調(diào)遞增，求|s－t|的取值范圍；

(3)問是否存在實數(shù)k(k是與a，b，c，d無關(guān)的常數(shù))，當x≥k時，恒有恒成立？若存在，試求出k的最小值；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源：2011-2012學年江西省高三第一次月考理科數(shù)學試卷 題型：填空題

對于三次函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，定義：設(shè)f″(x)是函數(shù)y＝f(x)的導數(shù)y＝f′(x)的導數(shù)，若方程f″(x)＝0有實數(shù)解x0，則稱點(x0，f(x0))為函數(shù)y＝f(x)的“拐點”．有同學發(fā)現(xiàn)“任何一個三次函數(shù)都有‘拐點’；任何一個三次函數(shù)都有對稱中心；且‘拐點’就是對稱中心．如“函數(shù)f(x)＝x3－3x2＋3x對稱中心為點 (1,1)”請你將這一發(fā)現(xiàn)

 

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