【題目】如圖,四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,A1A⊥底面ABCD,四邊形ABCD為梯形,AD∥BC,且AD=2BC,Q為BB1的中點(diǎn),過(guò)A1 , Q,D三點(diǎn)的平面記為α.
(1)證明:平面α與平面A1B1C1D1的交線平行于直線CD;
(2)若AA1=3,BC=CD= ,∠BCD=120°,求平面α與底面ABCD所成二面角的大小.
【答案】
(1)證明:如圖,延長(zhǎng)AB,DC交于點(diǎn)P,
∵AD∥BC,且AD=2BC,∴AB=BP,
又∵Q為BB1的中點(diǎn),
∴A1,Q,P三點(diǎn)共線,此時(shí)平面α與平面ABCD的交線為CD,
又平面ABCD∥平面A1B1C1D1,根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理可得,
平面α與平面A1B1C1D1的交線平行于直線CD;
(2)解:在梯形ABCD中,∵BC=CD= ,∠BCD=120°,
∴BD=3, , ,得 , ,
說(shuō)明梯形ABCD是等腰梯形,
∴AC=BD=3,
可知△ADP為等邊三角形,連接AC、A1C,則AC⊥CD,
又AA1⊥CD,∴CD⊥平面AA1C,
此時(shí)∠A1CA就是平面α與底面ABCD所成二面角的平面角,
在直角△A1CA中,AC=AA1=3,∴ ,
即平面α與底面ABCD所成二面角的大小為 .
【解析】(1)延長(zhǎng)AB,DC交于點(diǎn)P,由已知可得AD∥BC,且AD=2BC,則AB=BP,得到A1,Q,P三點(diǎn)共線,此時(shí)平面α與平面ABCD的交線為CD,再由面面平行的性質(zhì)可得平面α與平面A1B1C1D1的交線平行于直線CD;(2)在梯形ABCD中,由已知求得ABCD是等腰梯形,進(jìn)一步得到△ADP為等邊三角形,連接AC、A1C,則AC⊥CD,可得∠A1CA就是平面α與底面ABCD所成二面角的平面角,在直角△A1CA中,求得 ,即平面α與底面ABCD所成二面角的大小為 .
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解平面與平面平行的判定的相關(guān)知識(shí),掌握判斷兩平面平行的方法有三種:用定義;判定定理;垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在考試測(cè)評(píng)中,常用難度曲線圖來(lái)檢測(cè)題目的質(zhì)量,一般來(lái)說(shuō),全卷得分高的學(xué)生,在某道題目上的答對(duì)率也應(yīng)較高,如果是某次數(shù)學(xué)測(cè)試壓軸題的第1、2問(wèn)得分難度曲線圖,第1、2問(wèn)滿分均為6分,圖中橫坐標(biāo)為分?jǐn)?shù)段,縱坐標(biāo)為該分?jǐn)?shù)段的全體考生在第1、2問(wèn)的平均難度,則下列說(shuō)法正確的是( )
A.此題沒(méi)有考生得12分
B.此題第1問(wèn)比第2問(wèn)更能區(qū)分學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的好與壞
C.分?jǐn)?shù)在[40,50)的考生此大題的平均得分大約為4.8分
D.全體考生第1問(wèn)的得分標(biāo)準(zhǔn)差小于第2問(wèn)的得分標(biāo)準(zhǔn)差
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓C: 的離心率為 ,M為C上除長(zhǎng)軸頂點(diǎn)外的一動(dòng)點(diǎn),以M為圓心, 為半徑作圓,過(guò)原點(diǎn)O作圓M的兩條切線,A、B為切點(diǎn),當(dāng)M為短軸頂點(diǎn)時(shí)∠AOB= . (Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為F,過(guò)點(diǎn)F作MF的垂線交直線x= a于N點(diǎn),判斷直線MN與橢圓的位置關(guān)系.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn , 且2Sn=4an﹣1. (Ⅰ)求{an}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)設(shè)bn=anan+1﹣2,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某高校調(diào)查了200名學(xué)生每周的自習(xí)時(shí)間(單位:小時(shí)),制成了如圖所示的頻率分布直方圖,其中自習(xí)時(shí)間的范圍是[17.5,30],樣本數(shù)據(jù)分組為[17.5,20),[20,22.5),[22.5,25),[25,27.5),[27.5,30].根據(jù)直方圖,若這200名學(xué)生中每周的自習(xí)時(shí)間不超過(guò)m小時(shí)的人數(shù)為164,則m的值約為( )
A.26.25
B.26.5
C.26.75
D.27
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】甲、乙兩名籃球運(yùn)動(dòng)員在7場(chǎng)比賽中的得分情況如莖葉所示, 甲、 乙分別表示甲、乙兩人的平均得分,則下列判斷正確的是( )
A. 甲> 乙 , 甲比乙得分穩(wěn)定
B. 甲> 乙 , 乙比甲得分穩(wěn)定
C. 甲< 乙 , 甲比乙得分穩(wěn)定
D. 甲< 乙 , 乙比甲得分穩(wěn)定
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示的多面體是由一個(gè)直平行六面體被平面AEFG所截后得到的,其中∠BAE=∠GAD=45°,AB=2AD=2,∠BAD=60°.
(1)求證:BD⊥平面ADG;
(2)求此多面體的全面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】現(xiàn)有10支隊(duì)伍參加籃球比賽,規(guī)定:比賽采取單循環(huán)比賽制,即每支隊(duì)伍與其他9支隊(duì)伍各比賽一場(chǎng);每場(chǎng)比賽中,勝方得2分,負(fù)方得0分,平局雙方各得1分.下面關(guān)于這10支隊(duì)伍得分的敘述正確的是( )
A.可能有兩支隊(duì)伍得分都是18分
B.各支隊(duì)伍得分總和為180分
C.各支隊(duì)伍中最高得分不少于10分
D.得偶數(shù)分的隊(duì)伍必有偶數(shù)個(gè)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和記為Sn , a1=t,an+1=2Sn+1(n∈N*).
(1)當(dāng)t為何值時(shí),數(shù)列{an}為等比數(shù)列?
(2)在(1)的條件下,若等差數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn有最大值,且T3=15,又a1+b1 , a2+b2 , a3+b3成等比數(shù)列,求Tn .
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