【題目】如圖,四棱錐P﹣ABCD的底面ABCD為矩形,PA⊥平面ABCD,點E是棱PD的中點,點F是PC的中點F.

(1)證明:PB∥平面AEC;
(2)若ABCD為正方形,探究在什么條件下,二面角C﹣AF﹣D大小為60°?

【答案】
(1)證明:連接BD,設(shè)AC∩BD=O,連結(jié)OE,

∵四邊形ABCD為矩形,

∴O是BD的中點,

∵點E是棱PD的中點,

∴PB∥EO,

又PB平面AEC,EO平面AEC,

∴PB∥平面AEC.


(2)解:由題意知AD,AB,AP兩兩垂直,建立如圖所示空間直角坐標系A(chǔ)﹣xyz,

設(shè)AB=2a,AD=2b,AP=2c,

則A(0,0,0),B(2a,0,0),C(2a,2b,0),D(0,2b,0),P(0,0,2c).

設(shè)AC∩BD=O,連結(jié)OE,則O(a,b,0),E(0,b,c).

因為 , ,

所以 ,所以 ,a=b,A(0,0,0),B(2a,0,0),

C(2a,2a,0),D(0,2a,0),P(0,0,2c),E(0,a,c),F(xiàn)(a,a,c),

因為z軸平面CAF,所以設(shè)平面CAF的一個法向量為 =(x,1,0),

,所以 =2ax+2a=0,得x=﹣1,所以 =(﹣1,1,0).

因為y軸平面DAF,所以設(shè)平面DAF的一個法向量為 =(1,0,z),

,所以 =a+cz=0,得 ,

所以 =(1,0,﹣ )∥ =(c,0,﹣a).

cos60°= = ,得a=c.

即當AP等于正方形ABCD的邊長時,二面角C﹣AF﹣D的大小為60°.


【解析】(1)連接BD,設(shè)AC∩BD=O,連結(jié)OE,則PB∥EO,由此能證明PB∥平面AEC.(2)由題意知AD,AB,AP兩兩垂直,建立空間直角坐標系A(chǔ)﹣xyz,利用向量法能求出當AP等于正方形ABCD的邊長時,二面角C﹣AF﹣D的大小為60°.
【考點精析】掌握直線與平面平行的判定是解答本題的根本,需要知道平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,則該直線與此平面平行;簡記為:線線平行,則線面平行.

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