Question

9．設(shè)a為實(shí)常數(shù)，對任意x∈[0，+∞），不等式（x+1）ln（x+1）≥ax恒成立，則a的取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，-1]
• B． [-1，+∞）
• C． （-∞，1]
• D． [1，+∞）

Answer 1

分析 討論x=0時，不等式恒成立；x＞0時，可得a≤$\frac{（x+1）ln（x+1）}{x}$恒成立．由$\frac{（x+1）ln（x+1）}{x}$-1=$\frac{（x+1）ln（x+1）-x}{x}$，令f（x）=（x+1）ln（x+1）-x，x＞0，求得導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性，即可得到a的范圍．

解答 解：當(dāng)x=0時，不等式（x+1）ln（x+1）≥ax顯然成立；
當(dāng)x＞0時，不等式即為a≤$\frac{（x+1）ln（x+1）}{x}$恒成立．
由$\frac{（x+1）ln（x+1）}{x}$-1=$\frac{（x+1）ln（x+1）-x}{x}$，
令f（x）=（x+1）ln（x+1）-x，x＞0，
導(dǎo)數(shù)為f′（x）=ln（x+1）+1-1=ln（x+1），
當(dāng)x＞0時，x+1＞1，即有l(wèi)n（x+1）＞0．
即有f（x）在（0，+∞）遞增，可得f（x）＞f（0）=0，
即有$\frac{（x+1）ln（x+1）}{x}$＞1，
則a≤1．即a的取值范圍是（-∞，1]．
故選：C．

點(diǎn)評 本題考查不等式恒成立問題的解法，注意運(yùn)用參數(shù)分離和構(gòu)造函數(shù)法，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．